変形（工学）

工学では、変形（物体の大きさや形の変化）は弾性の場合と塑性の場合とがあります。変形がごくわずかであれば、その物体は剛体であると言われます。

エンジニアリングアプリケーションにおける変形の発生は、次の背景概念に基づいています。

• 変位とは、物体全体の移動や回転（剛体変換）を含む、物体上の点の位置の変化のことです
• 変形とは、剛体変換を除く、物体上の内部点間の相対位置の変化であり、物体の形状やサイズを変化させます。
• ひずみは相対的な 内部変形であり、基準構成に対する微小立方体の材料の形状の無次元変化です。機械的ひずみは機械的応力によって引き起こされます。応力-ひずみ曲線を参照してください。

応力とひずみの関係は、降伏点までは一般に線形かつ可逆的であり、変形は弾性です。材料の弾性は、加えられた応力が分子結合を破壊するのに必要なエネルギーを超えない場合に発生し、材料は可逆的に変形し、応力が除去されると元の形状に戻ります。材料の線形関係はヤング率として知られています。降伏点を超えると、除荷後にある程度の永久歪みが残り、塑性変形と呼ばれます。固体全体の応力とひずみの決定は材料強度の分野によって行われ、構造の場合は構造解析によって行われます。

上の図では、圧縮荷重 (矢印で示す) によってシリンダーが変形し、元の形状 (破線) が側面が膨らんだ形状に変化 (変形) していることがわかります。側面が膨らんでいるのは、材料がひび割れたり破損したりしないほどの強度はあるものの、変化せずに荷重を支えるほどの強度がないためです。その結果、材料は横方向に押し出されます。内部の力 (この場合は変形に対して直角) が加えられた荷重に抵抗します。

材料の種類、物体のサイズと形状、および加えられる力に応じて、さまざまなタイプの変形が生じる可能性があります。右の図は、鋼鉄などの一般的な延性材料の工学的な応力対ひずみ図を示しています。変形メカニズム マップを使用して表すことができるように、さまざまな条件下ではさまざまな変形モードが発生する可能性があります。

永久変形は不可逆で、加えられた力が除去された後も変形は残りますが、一時変形は加えられた力が除去されると消えるため回復可能です。一時変形は弾性変形とも呼ばれ、永久変形は塑性変形と呼ばれます。

工学的ひずみの場合の一時的または弾性変形の研究は、コンクリートや鋼鉄など、非常に小さな変形を受ける機械および構造工学で使用される材料に適用されます。工学的ひずみは、ひずみと回転が両方とも小さい、微小ひずみ理論、微小変形理論、微小変位理論、または微小変位勾配理論とも呼ばれる微小ひずみ理論によってモデル化されます。

エラストマーやポリマーなど、大きな変形を受ける材料の場合、一般的な工学上のひずみが1%を超えるなど、ひずみの工学的定義は適用できません。^{[1]そのため、}伸張、対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンシひずみなど、より複雑なひずみの定義が必要になります。エラストマーやニチノールなどの形状記憶金属は、ゴムと同様に大きな弾性変形範囲を示します。ただし、これらの材料の弾性は非線形です。

通常の金属、セラミック、およびほとんどの結晶は線形弾性とより小さな弾性範囲を示します。

線形弾性変形はフックの法則によって規定され、次のように述べられています。

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

どこ

• σ は加えられる応力です。
• E はヤング率または弾性率と呼ばれる材料定数です。
• ε は結果として生じるひずみです。

この関係は弾性範囲にのみ適用され、応力対ひずみ曲線の傾きを使用してヤング率 ( E ) を求めることができることを示しています。エンジニアは引張試験でこの計算をよく使用します。この弾性領域の下の領域は、復元力として知られています。

すべての弾性材料が線形弾性変形を起こすわけではないことに注意してください。コンクリート、ねずみ鋳鉄、多くのポリマーなど、非線形に反応する材料もあります。これらの材料にはフックの法則は適用できません。^[2]

この種の変形は、加えられた力を取り除くだけでは元に戻りません。ただし、塑性変形範囲内の物体は、まず弾性変形を起こしますが、加えられた力を取り除くだけで弾性変形が元に戻るため、物体は部分的に元の形状に戻ります。柔らかい熱可塑性プラスチックは、銅、銀、金などの延性金属と同様に、かなり広い塑性変形範囲を持っています。鋼鉄も同様ですが、鋳鉄はそうではありません。硬い熱硬化性プラスチック、ゴム、結晶、セラミックの塑性変形範囲は最小限です。大きな塑性変形範囲を持つ材料の例としては、湿ったチューインガムがあり、これは元の長さの数十倍に引き伸ばすことができます。

引張応力下では、塑性変形はひずみ硬化領域とネッキング領域、そして最終的には破壊（破断とも呼ばれる）によって特徴付けられます。ひずみ硬化中、材料は原子転位の動きによって強化されます。ネッキング段階は、試験片の断面積の減少によって示されます。ネッキングは、極限強度に達した後に始まります。ネッキング中、材料は最大応力に耐えられなくなり、試験片のひずみが急速に増加します。塑性変形は、材料の破壊で終了します。

通常、バー、柱などに加えられる圧縮応力は短縮につながります。

構造要素または試験片に荷重をかけると、圧縮応力が増加し、圧縮強度に達します。材料の特性に応じて、破壊モードは、延性挙動を示す材料（ほとんどの金属、一部の土壌およびプラスチック）の場合は降伏、脆性挙動を示す材料（地質材料、鋳鉄、ガラスなど）の場合は破裂となります。

柱やトラスバーなどの細長い構造要素では、圧縮力Fが増加すると、圧縮強度よりも低い応力で 座屈が発生し、構造的な破損が発生します。

破断は、材料が弾性変形範囲の終端に達し、次に塑性変形範囲に達した後に発生します。この時点で力が蓄積され、破断を引き起こすのに十分な大きさになります。十分な力が加われば、すべての材料は最終的に破断します。

工学応力と工学ひずみは、サイズに大きな変化がない場合、物体の外力と変形から決定できる内部状態の近似値です。サイズに大きな変化がある場合、真の応力と真のひずみは物体の瞬間的なサイズから導き出すことができます。

元の断面積が A ₀の棒が、両端で等しく反対方向の力Fを受けて張力を受けているとします。材料は、棒の断面積に対する力の比として定義される応力と、軸方向の伸びを経験します。

下付き文字の 0 は、サンプルの元の寸法を示します。応力のSI 導出単位はニュートン毎平方メートル、またはパスカル(1 パスカル = 1 Pa = 1 N/m ² ) であり、ひずみには単位がありません。この材料の応力-ひずみ曲線は、サンプルを引き伸ばし、サンプルが破損するまでひずみによる応力の変化を記録することによってプロットされます。慣例により、ひずみは横軸に設定され、応力は縦軸に設定されます。工学上の目的では、材料の断面積は変形プロセス全体を通じて変化しないと想定されることが多いことに注意してください。実際の断面積は弾性変形と塑性変形により変形中に減少するため、これは正しくありません。元の断面積とゲージ長に基づく曲線は工学応力-ひずみ曲線と呼ばれ、瞬間断面積と長さに基づく曲線は真応力-ひずみ曲線と呼ばれます。特に明記しない限り、工学応力-ひずみが一般的に使用されます。

上記の工学的応力とひずみの定義では、引張試験における材料の 2 つの動作が無視されています。

• 断面積の縮小
• 伸長の複合的な発達

真応力と真ひずみは、これらの挙動を説明するために、工学的な応力とひずみとは異なる定義で定義されます。

ここで、寸法は瞬間的な値です。サンプルの体積が保存され、変形が均一に起こると仮定すると、

${\displaystyle A_{0}L_{0}=AL}$

真の応力とひずみは、工学応力とひずみで表すことができます。真の応力の場合、

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }={\frac {F}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {A_{0}}{A}}={\frac {F}{A_{0}}}{\frac {L}{L_{0}}}=\sigma (1+\varepsilon )}$

緊張のために、

${\displaystyle \delta \varepsilon _{\mathrm {t} }={\frac {\delta L}{L}}}$

両辺を積分し境界条件を適用すると、

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {t} }=\ln \left({\frac {L}{L_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon )}$

したがって、引張試験では、真応力は工学応力よりも大きく、真ひずみは工学ひずみよりも小さくなります。したがって、真応力-ひずみ曲線を定義する点は、上方および左に移動して、同等の工学応力-ひずみ曲線を定義します。真応力と工学ひずみの差は、塑性変形とともに大きくなります。低ひずみ（弾性変形など）では、両者の差はごくわずかです。引張強度点については、工学応力-ひずみ曲線の最大点ですが、真応力-ひずみ曲線の特別な点ではありません。工学応力はサンプルに沿って加えられる力に比例するため、ネッキング形成の基準は次のように設定できます。${\displaystyle \delta F=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta F=\sigma _{\text{t}}\,\delta A+A\,\delta \sigma _{\text{t}}=0\\&-{\frac {\delta A}{A}}={\frac {\delta \sigma _{\mathrm {t} }}{\sigma _{\mathrm {t} }}}\end{aligned}}}$

この解析は、極限引張強度(UTS) ポイントの性質を示唆しています。作業強化効果は、UTS ポイントでの断面積の縮小によって正確にバランスが取れています。

ネッキング形成後、サンプルは不均一な変形を受けるため、上記の式は有効ではありません。ネッキングにおける応力とひずみは次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {t} }&={\frac {F}{A_{\mathrm {neck} }}}\\\varepsilon _{\mathrm {t} }&=\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{\mathrm {neck} }}}\right)\end{aligned}}}$

真応力と真ひずみの関係を説明するには、一般的に 経験式が使用されます。

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {t} }=K(\varepsilon _{\mathrm {t} })^{n}}$

ここで、nはひずみ硬化指数、Kは強度係数です。nは材料の加工硬化挙動の尺度です。nが大きい材料はネッキングに対する耐性が高くなります。通常、室温の金属のnは0.02～0.5の範囲です。^[3]

上記の変形中の面積の変化を無視しているため、真の応力とひずみ曲線を再度導出する必要があります。応力ひずみ曲線を導出するには、材料を変形しても体積変化は 0 であると仮定できます。次のことを仮定できます。

${\displaystyle A_{i}\times \varepsilon _{i}=A_{f}\times \varepsilon _{f}}$

すると、真の応力は以下のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{T}={\frac {F}{A_{f}}}&={\frac {F}{A_{i}}}\times {\frac {A_{i}}{A_{f}}}\\&=\sigma _{e}\times {\frac {l_{f}}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}\times {\frac {l_{i}+\delta l}{l_{i}}}\\[2pt]&=\sigma _{E}(1+\varepsilon _{E})\end{aligned}}}$

さらに、真ひずみε _{T は}以下のように表されます。

${\displaystyle \varepsilon _{T}={\frac {dl}{l_{0}}}+{\frac {dl}{l_{1}}}+{\frac {dl}{l_{2}}}+\cdots =\sum _{i}{\frac {dl}{l_{i}}}}$

そして、その値は次のように表すことができます。

${\displaystyle \int _{l_{0}}^{l_{i}}{\frac {dl}{l}}\,dx=\ln \left({\frac {l_{i}}{l_{0}}}\right)=\ln(1+\varepsilon _{E})}$

したがって、右の図のように、 とに関してプロットを誘導できます。 ${\displaystyle \sigma _{T}}$${\displaystyle \varepsilon _{E}}$

さらに、真の応力-ひずみ曲線に基づいて、ネッキングが発生し始める領域を推定できます。ネッキングは、最大の力が加えられる極限引張応力の後に現れ始めるため、この状況は次のように表現できます。

${\displaystyle dF=0=\sigma _{T}dA_{i}+A_{i}d\sigma _{T}}$

したがって、この形式は以下のように表現できます。

${\displaystyle {\frac {d\sigma _{T}}{\sigma _{T}}}=-{\frac {dA_{i}}{A_{i}}}}$

これは、応力変化に比べて面積の減少が著しくなる場所でネッキングが発生し始めることを示しています。その後、応力はネッキングが発生する特定の領域に集中します。

さらに、真の応力-ひずみ曲線に基づいてさまざまな関係を誘導することができます。

1) 真ひずみと応力の曲線は、真応力と真ひずみの対数を取ることで近似線形関係で表すことができます。この関係は次のように表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{T}=K\times (\varepsilon _{T})^{n}}$

ここで は応力係数、はひずみ硬化係数です。通常、 の値は室温で約0.02～0.5の範囲です。が1の場合、この材料は完全な弾性材料として表すことができます。^{[4] [5]}${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

2) 実際には、応力はひずみの変化率にも大きく依存します。したがって、ひずみ速度の変化に基づいて経験式を誘導することができます。

${\displaystyle \sigma _{T}=K'\times ({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

ここで、 は材料の流動応力に関連する定数です。は時間によるひずみの導関数を示し、ひずみ速度とも呼ばれます。はひずみ速度感度です。さらに、 の値はネッキングに対する抵抗に関連しています。通常、 の値は室温では 0 ～ 0.1 の範囲にあり、温度が上昇すると 0.8 まで高くなります。 ${\displaystyle K'}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{T}}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

1) と 2) を組み合わせると、以下のような究極の関係を作成できます。

${\displaystyle \sigma _{T}=K''\times (\varepsilon _{T})^{n}({\dot {\varepsilon _{T}}})^{m}}$

ひずみ、ひずみ速度、応力を関連付けるグローバル定数は どこですか。${\displaystyle K''}$

3) 真応力-ひずみ曲線とその導関数に基づいて、ネッキングを開始するために必要なひずみを推定できます。これは、右に示すように、真応力-ひずみ曲線の交点に基づいて計算できます。

この図は、異なる温度におけるネッキングひずみの依存性も示しています。FCC 金属の場合、応力 - ひずみ曲線の導関数は両方とも温度に大きく依存します。そのため、温度が高くなると、ひずみ値が低くてもネッキングが現れ始めます。

これらすべての特性は、突然の環境における材料の挙動をさらに分析するために、真の応力-ひずみ曲線を計算することが重要であることを示しています。

4) いわゆる「コンシダレ構成」と呼ばれるグラフィカルな方法は、サンプルにネッキングやドローイングが発生しているかどうかに関係なく、応力-ひずみ曲線の挙動を判断するのに役立ちます。 を行列式として設定すると、真の応力とひずみは、次のようにエンジニアリング応力とひずみで表すことができます。 ${\displaystyle \lambda =L/L_{0}}$

${\displaystyle \sigma _{T}=\sigma _{e}\times \lambda ,\qquad \varepsilon _{T}=\ln \lambda .}$

したがって、工学応力の値は、真の応力とから までの値によって作られた割線で表すことができます。図と割線の形状を分析することで、材料が引き伸ばしまたはネッキングを示しているかどうかを判断できます。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \sigma _{T}-\lambda }$

図 (a) では、凹状の上向きの Considere プロットのみがあります。これは、降伏点降下がないため、材料は降伏する前に破損することを示しています。図 (b) では、 の点で接線が割線と一致する特定の点があります。この値を超えると、傾きは割線よりも小さくなり、ネッキングが現れ始めます。図 (c) では、降伏が現れ始める点がありますが、 のときに引張が起こります。引張後、材料全体が伸びて、最終的に破損します。との間では、材料自体は伸びず、ネックだけが伸び始めます。 ${\displaystyle \lambda =\lambda _{Y}}$${\displaystyle \lambda =\lambda _{d}}$${\displaystyle \lambda _{Y}}$${\displaystyle \lambda _{d}}$

曲がる材料はすべて「弱い」、曲がらない材料は「強い」という誤解がよくあります。実際には、鋼鉄など、大きな弾性変形や塑性変形を受ける多くの材料は、塑性変形範囲が最小のガラスなどの脆い材料が破損する原因となるような応力を吸収することができます。^[7]