ジェインズ・カミングスモデル

このモデルは、もともと1963年にエドウィン・ジェインズとフレッド・カミングスによって、電磁場と相互作用する原子の挙動に完全な量子力学的処理を与えた場合の効果を解明するために開発されたものです。数学を簡略化し、扱いやすい計算を可能にするために、ジェインズとカミングスは、量子化された電磁場の単一モードと原子との相互作用にのみ注目しました。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}（数学の詳細については下記を参照）。

このアプローチは、原子のダイナミクスのみを量子力学的に扱い、原子が相互作用する場は古典電磁気理論に従って振る舞うと仮定する従来の半古典的手法とは対照的である。ジェーンズ・カミングスモデルにおける場の量子力学的取り扱いは、以下のような多くの新しい特徴を明らかにしている。

• 量子場と相互作用する2準位系の状態間のラビ振動の存在。これは当初、純粋に量子力学的な効果であると考えられていたが、後に線形分散と吸収の観点から半古典的な説明が提供された^{[ 5 ]。}
• 量子化されたエネルギー準位の梯子は、ジェインズ・カミングス梯子と呼ばれ、エネルギーに関して非線形にスケーリングします。${\displaystyle {\sqrt {n}}}$どこ${\displaystyle n}$は、結合系における量子総数である。このエネルギーの量子化と非線形スケーリングは、純粋に量子力学的な性質を持つ。
• 場が初期状態でコヒーレント状態にあるときに、特定の状態にある2準位系を検出する確率が崩壊し、その後回復する現象。崩壊は単純な古典的説明が可能であるが、回復は場の量子性によるエネルギー スペクトルの離散性によってのみ説明できる。 ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ジェーンズ・カミングスモデルで予測されるダイナミクスを実験的に実現するには、非常に高い品質係数を持つ量子力学的共振器が必要であり、2準位系（通常は原子内の2つのエネルギー副準位）の状態間の遷移が、原子と場モードの相互作用によって非常に強く結合される必要がある。これにより、原子内の他の副準位間の結合と場の他のモードとの結合が同時に抑制され、損失がジェーンズ・カミングスモデルで予測されるダイナミクスを観測できるほど小さくなる。このような装置を実現するのが難しいため、このモデルはしばらくの間、数学的な興味の対象にとどまっていた。1985年、いくつかのグループが、マイクロ波共振器内のメーザーとともにリュードベリ原子を使用して、予測されたラビ振動を実証した。^{[ 8 ] [ 9 ]}しかし、前述のように、この効果は後に半古典的な説明があることがわかった。^{[ 5 ]}

ゲルハルト・レンペ、ヘルベルト・ヴァルター、ノルベルト・クラインが、モデルによって予測された確率の復活を単一原子メーザーで実証できたのは、1987年になってからのことだった。 ^{[ 10 ]}それ以前は、研究グループは、原子と単一場モードとの結合を強化し、同時に他のモードを抑制できる実験装置を構築することができなかった。実験的には、システムのダイナミクスを単一モード場のダイナミクスと同等とみなすには、キャビティの品質係数が十分に高くなければならない。場の量子力学的モデルによってのみ説明できるダイナミクスのこの実証の成功は、この研究で使用するための高品質キャビティのさらなる開発を促した。

単原子メーザーの出現により、実験的な観点から、キャビティ内の電磁場の単一の共鳴モードと単一の原子（通常はリュードベリ原子）との相互作用を研究し、 ^{[ 11 ] [ 12 ]}ジェーンズ・カミングスモデルのさまざまな側面を研究することが可能になった。

砂時計型の形状を使用すると、モードが占める体積を最大化できると同時に、結合強度を最大化するために高い品質係数を維持し、それによってモデルのパラメータをより良く近似できることがわかった。^{[ 13 ]}可視光周波数で強い原子-場結合を観測するには、砂時計型の光モードは、最終的にキャビティ内の強い場と一致する大きなモード体積を持つため、役に立つ可能性がある。 ^{[ 13 ]}フォトニック結晶ナノキャビティ内の量子ドットも、可視光周波数でのラビサイクルの崩壊と復活を観測するための有望なシステムである。^{[ 14 ]}

最近の多くの実験は、量子情報処理やコヒーレント制御に応用可能なシステムへのモデルの適用に焦点を当てています。さまざまな実験により、量子ドットとマイクロキャビティのモードの結合におけるジェーンズ・カミングスモデルのダイナミクスが実証され、より小さなサイズの物理システムに適用できる可能性が示されています。 ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}他の実験では、直接分光観測によってジェーンズ・カミングスエネルギー準位の梯子の非線形性を実証することに焦点を当てています。これらの実験では、超伝導RLC回路の形で非常に高品質の発振器に結合した人工原子を含む超伝導回路と、スピンを介して結合したリュードベリ原子の集合の両方で、場の量子性から予測される非線形挙動の直接的な証拠が見つかりました。^{[ 19 ] [ 20 ]}後者の場合、アンサンブルにおける集団リュードベリ励起の有無が2準位系の役割を果たし、ボソン場モードの役割は発生するスピン反転の総数によって果たされる。^{[ 20 ]}

理論的研究により、元のモデルは、通常現象論的アプローチを介して、散逸と減衰の効果を含むように拡張されています。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}提案された拡張では、量子場の複数のモードの包含も組み込まれており、原子内の追加のエネルギー準位との結合、または同じ場と相互作用する複数の原子の存在が可能になっています。また、通常使用されるいわゆる回転波近似を超える試みも行われています（以下の数学的導出を参照）。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}単一の量子場モードと複数の（${\displaystyle N>1}$）2状態サブシステム（1/2より大きいスピンに相当）は、ディッケモデルまたはタビス・カミングスモデルとして知られています。例えば、共振器共振付近で遷移する複数の同一原子を含む高品質の共振器、または超伝導回路上の複数の量子ドットに結合された共振器に適用されます。これは、の場合にジェーンズ・カミングスモデルに帰着します。${\displaystyle N=1}$。

このモデルは、実験環境でいくつかの斬新な理論的可能性を実現する可能性を提供する。例えば、ラビ振動が崩壊する期間中、原子・空洞系は巨視的スケールで量子重ね合わせ状態にあることがわかった。このような状態は、巨視的システムで量子もつれがどのように現れるかという直感に反する効果を探求できるため、シュレーディンガーの猫と呼ばれることもある。 ^{[ 27 ]}また、量子場における量子情報の伝達方法をモデル化するためにも使用できる。 ^{[ 28 ]}

シュレーディンガーの絵から、選択によって定義される 相互作用の絵（回転フレームとも呼ばれる）へ移動する${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}}$我々は得る $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).}$$

このハミルトニアンには、${\displaystyle (\omega _{c}+\omega _{a})}$そしてゆっくりと${\displaystyle (\omega _{c}-\omega _{a})}$振動する成分。解けるモデルを得るには、急速に振動する「逆回転」項、${\displaystyle (\omega _{c}+\omega _{a})}$は無視されます。これは回転波近似と呼ばれ、高速振動項が比較的大きなエネルギー差を持つ状態を結合するため有効です。エネルギー差が結合よりもはるかに大きい場合、これらの状態の混合は小さくなります。言い換えれば、結合は状態間の集団移動をほとんど引き起こしません。シュレーディンガーの描像に戻すと、JCMハミルトニアンは次のように表されます。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).}$$

系全体のハミルトニアンを、互いに可換な2つの部分の和として表すことが可能であり、多くの場合、非常に有用である。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{\text{I}}+{\hat {H}}_{\text{II}},}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{I}}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{\text{II}}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}}$$ と${\displaystyle \delta =\omega _{a}-\omega _{c}}$これは、場と2準位系との間の周波数ずれ（デチューニング）と呼ばれる。

の固有状態${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$はテンソル積形式であるため、容易に解くことができ、次のように表される。${\displaystyle |n+1,g\rangle ,|n,e\rangle }$、 どこ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$は、そのモードにおける放射量子数を表します。

州が${\displaystyle |\psi _{1n}\rangle$ :=|n,e\rangle } および${\displaystyle |\psi _{2n}\rangle$ :=|n+1,g\rangle } は、${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$対角化すれば十分です${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}}$部分空間において${\displaystyle \operatorname {span} \{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}}$行列要素${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}}$この部分空間では、${\displaystyle {H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle ,}$読む $${\displaystyle H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}}$$

特定の${\displaystyle n}$エネルギー固有値は${\displaystyle H^{(n)}}$は $${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),}$$ どこ${\textstyle \Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}}$は、特定のデチューニングパラメータに対するラビ周波数です。固有状態${\displaystyle |n,\pm \rangle }$エネルギー固有値に関連する値は、 $${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$$$${\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle -\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$$ 角度が${\displaystyle \alpha _{n}}$定義される $${\displaystyle \alpha _{n}:=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).}$$

既知の固有状態に展開することで、一般状態のダイナミクスを得ることが可能になった。我々は、数値状態の重ね合わせを場の初期状態として考える。${\textstyle |\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }}$励起状態の原子が場に注入されると仮定します。システムの初期状態は $${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n,e\rangle }=\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].}$$

以来${\displaystyle |n,\pm \rangle }$は場原子系の定常状態であり、その場合の状態ベクトルは ${\displaystyle t>0}$は、 $${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }+\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right].}$$

ラビ振動は、状態ベクトルのsin関数とcos関数に容易に見出すことができます。光子の数状態によって周期が異なります。実験で観測されるのは、非常に広範囲に振動し、ある時点で相殺的にゼロになるものの、後になって再びゼロにならない多数の周期関数の和です。この時点が有限であることは、周期性の議論が離散的であることから生じます。もし場の振幅が連続的であれば、有限時間内に復活が起こることは決してなかったでしょう。

ハイゼンベルク記法では、ハミルトニアンからユニタリー発展演算子を直接決定することが可能です。^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}}\right)}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$$ オペレーターが${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$は次のように定義される。 $${\displaystyle {\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4}$$ そして${\displaystyle g}$は $${\displaystyle g={\frac {\Omega }{\hbar }}}$$

統一性${\displaystyle {\hat {U}}}$アイデンティティによって保証される $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},\\\cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}&={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},\end{aligned}}}$$ そしてそれらのエルミート共役。

ユニタリ発展演算子を用いることで、密度行列で記述されるシステムの状態の時間発展を計算することができる。${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)}$そしてそこから、初期状態が与えられた場合の任意の観測量の期待値を求めることができる。 $${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)}$$$${\displaystyle \langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]}$$

システムの初期状態は次のように表される。${\displaystyle {\hat {\rho }}(0)}$そして${\displaystyle {\hat {\Theta }}}$は観測可能な値を表す演算子です。

次に、いわゆる「共回転」座標系への受動的な変換を行うことで解析を簡略化できます。これを行うには、相互作用図を使用します。 ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {H}}_{A}+{\hat {H}}_{F}}$すると、相互作用ハミルトニアンは次のようになる。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar \left(g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}+g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{eg})t}-g_{c}^{*}{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}-g_{c}{\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)}$$ ここで、キャビティの共振周波数が原子の遷移周波数に近いと仮定します。つまり、${\displaystyle |\omega _{eg}-\omega _{c}|\ll \omega _{eg}+\omega _{c}}$この条件下では、指数項は${\displaystyle \omega _{eg}-\omega _{c}\simeq 0}$はほぼ共鳴しているが、他の指数項は${\displaystyle \omega _{eg}+\omega _{c}\simeq 2\omega _{c}}$ほぼ反共鳴状態にある。${\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{\Delta }},\Delta \equiv \omega _{eg}-\omega _{c}}$共鳴項が1回の完全な振動を完了するのにかかる時間に対して、反共鳴項は多くの完全なサイクルを完了します。各完全なサイクルの間${\displaystyle {\frac {2\pi }{2\omega _{c}}}\ll \tau }$反共鳴振動の場合、急速に振動する反共鳴項の正味の効果は、共鳴挙動を解析したい時間スケールでは平均して0になる傾向があります。したがって、反共鳴項の値はほぼ共鳴する項の値に比べて無視できるほど小さいため、反共鳴項は完全に無視できます。この近似は回転波近似として知られており、エネルギーが保存されなければならないという直感と一致します。すると、相互作用ハミルトニアン（${\displaystyle g_{c}}$（簡略化のため現実的に言うと）次のようになります。

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}(t)=-\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}e^{i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }e^{-i(\omega _{eg}-\omega _{c})t}\right)}$$

この近似値を用いて（負の符号を吸収して）${\displaystyle g_{c}}$) 我々はシュレーディンガーの絵に戻ることができる。

$${\displaystyle {\hat {H}}_{AF}=e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {H}}_{AF}(t)e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }=\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

最後の２つのセクションで得られた結果を用いて、完全なジェーンズ・カミングス・ハミルトニアンを書き下すことができます。^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+{\frac {1}{2}}\right)+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$ 定数項${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega _{c}}$これは場の零点エネルギーを表します。これはダイナミクスには寄与しないため無視でき、次のようになります。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}+\hbar \omega _{eg}|e\rangle \langle e|+\hbar g_{c}\left({\hat {\sigma }}_{+}{\hat {a}}_{c}+{\hat {\sigma }}_{-}{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\right)}$$

次に、いわゆる数値演算子を次のように定義します。 $${\displaystyle {\hat {N}}=|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}}$$この演算子と原子場ハミルトニアンとの 交換子を考えてみましょう。$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}}_{AF},{\hat {N}}\right]&=\hbar g_{c}\left(\left[{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]\right)\\&=\hbar g_{c}\left({\hat {a}}_{c}\left[{\hat {\sigma }}_{+},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c},{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }\left[{\hat {\sigma }}_{-},|e\rangle \langle e|\right]+\left[{\hat {a}}_{c}^{\dagger },{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {a}}_{c}\right]{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=\hbar g_{c}\left(-{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}-{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\\&=0\end{aligned}}}$$

したがって、数演算子は原子場ハミルトニアンと可換である。数演算子の固有状態はテンソル積状態 の基底となる。${\displaystyle \left\{|g,0\rangle$ ;|e,0\rangle ,|g,1\rangle  ;\cdots  ;|e,n-1\rangle ,|g,n\rangle \right\}} ここで、状態は${\displaystyle \left\{|n\rangle \right\}}$この分野には、明確な数を持つものがある。${\displaystyle n}$光子の数演算子${\displaystyle {\hat {N}}}$合計数をカウントします${\displaystyle n}$原子-場系における量子について。

この固有状態の基底では${\displaystyle {\hat {N}}}$（状態の総数）の場合、ハミルトニアンはブロック対角構造をとります。^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\hat {H}}_{JC}={\begin{bmatrix}H_{0}&0&0&0&\cdots &\cdots &\cdots \\0&{\hat {H}}_{1}&0&0&\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&{\hat {H}}_{2}&0&\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&{\hat {H}}_{n}&0&\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{bmatrix}}}$$

スカラーを除いて${\displaystyle H_{0}}$、 それぞれ${\displaystyle {\hat {H}}_{n}}$対角線上にはそれ自体が${\displaystyle 2\times 2}$次の形式の行列。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}\hbar \omega _{c}(n-1)+\hbar \omega _{eg}&\langle e,n-1|{\hat {H}}_{JC}|g,n\rangle \\\langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle &n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}}$$

さて、次の関係式を用いて： $${\displaystyle \langle g,n|{\hat {H}}_{JC}|e,n-1\rangle =\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}|e,n-1\rangle +\hbar g_{c}\langle g,n|{\hat {a}}_{c}{\hat {\sigma }}_{+}|e,n-1\rangle ={\sqrt {n}}\hbar g_{c}}$$

^n番目の部分空間で作用するハミルトニアンの部分は次のようになります。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}\\\end{bmatrix}}}$$

エネルギーを${\displaystyle |e\rangle }$に${\displaystyle |g\rangle }$量で${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \Delta }$、我々は^{[ 30 ]を得ることができる。}$${\displaystyle {\hat {H}}_{n}={\begin{bmatrix}n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta &{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}\\{\frac {{\sqrt {n}}\hbar \Omega }{2}}&n\hbar \omega _{c}+{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \\\end{bmatrix}}=n\hbar \omega _{c}{\hat {I}}^{(n)}-{\frac {\hbar \Delta }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}\hbar \Omega {\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}}$$

特定した${\displaystyle 2g_{c}=\Omega }$システムのラビ周波数として、${\displaystyle \Delta =\omega _{c}-\omega _{eg}}$これは、キャビティの周波数と原子遷移の周波数の間の いわゆる「デチューニング」です。また、以下の演算子も定義しました。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {I}}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{z}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle e,n-1\right|-\left|g,n\right\rangle \left\langle g,n\right|\\[1ex]{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}&=\left|e,n-1\right\rangle \left\langle g,n\right|+\left|g,n\right\rangle \left\langle e,n-1\right|.\\[-1ex]\,\end{aligned}}}$$

原子場系のn^番目のエネルギー準位のヒルベルト空間における恒等演算子およびパウリx演算子とz演算子となる。${\displaystyle 2\times 2}$ハミルトニアンは、ラビ問題で見られるものと同じ形式です。対角化により、エネルギーの固有値と固有状態は次のようになります。^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n,\pm }&=\left(n\hbar \omega _{c}-{\frac {1}{2}}\hbar \Delta \right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}\\|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}}$$ 角度が${\displaystyle \theta _{n}}$関係によって定義される${\displaystyle \tan \theta _{n}=-{\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{\Delta }}}$。

原子が最初に励起状態で空洞に入り、空洞は最初は真空状態にあると仮定する。さらに、モードの角周波数は原子の遷移周波数に近似できると仮定する。${\displaystyle \Delta \approx 0}$すると、原子・場系の時間に対する状態は次のようになる。 $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\cos \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|e,0\rangle -i\sin \left({\frac {\Omega t}{2}}\right)|g,1\rangle }$$

つまり、一定時間キャビティと相互作用した後、システムが基底状態または励起状態にある確率は${\displaystyle t}$は：^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,0|\psi (t)\rangle |^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\P_{g}(t)&=|\langle g,1|\psi (t)\rangle |^{2}=\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

したがって、原子がどちらの状態にあるかを見つける確率振幅は振動します。これが真空ラビ振動現象の量子力学的説明です。この場合、原子-場系には、最初に励起された原子によって運ばれる単一の量子しかありませんでした。一般に、原子-場系に関連するラビ振動は、${\displaystyle n}$量子には周波数がある${\displaystyle \Omega _{n}={\frac {{\sqrt {n}}\Omega }{2}}}$後述するように、この離散的な周波数スペクトルは、モデルにおける崩壊とその後の復活の確率の根本的な理由である。

前のサブセクションで示したように、原子-空洞システムの初期状態が${\displaystyle |e,n-1\rangle }$または${\displaystyle |g,n\rangle }$例えば、初期状態が確定している原子（基底状態または励起状態）が、既知の数の光子を含む空洞に入る場合、その後の原子・空洞系の状態は、原子・空洞系の新しい固有状態の重ね合わせとなる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|n,+\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle +\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle \\|n,-\rangle &=\cos \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|g,n\rangle -\sin \left({\frac {\theta _{n}}{2}}\right)|e,n-1\rangle \\\end{aligned}}}$$

原子と場の相互作用によってハミルトニアンが変化することによる固有状態の変化は、原子の「ドレスアップ」と呼ばれることがあり、新しい固有状態はドレス状態と呼ばれます。^{[ 30 ]} ドレス状態間のエネルギー差は次のとおりです。 $${\displaystyle \delta E=E_{+}-E_{-}=\hbar {\sqrt {\Delta ^{2}+n\Omega ^{2}}}}$$ 特に興味深いのは、キャビティ周波数が原子の遷移周波数と完全に共鳴する場合である。${\displaystyle \omega _{eg}=\omega _{c}\implies \Delta =0}$共鳴の場合、ドレス状態は次のようになります。^{[ 31 ]}$${\displaystyle |n,\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|g,n\rangle \mp |e,n-1\rangle \right)}$$

エネルギー差${\displaystyle \delta E={\sqrt {n}}\hbar \Omega }$このように、原子と場の相互作用によって状態の縮退が解消される。${\displaystyle |e,n-1\rangle }$そして${\displaystyle |g,n\rangle }$による ${\displaystyle {\sqrt {n}}\hbar \Omega }$この非線形エネルギー準位階層は、${\displaystyle {\sqrt {n}}}$これはジェインズ・カミングス・ラダーとして知られています。この非線形分裂効果は純粋に量子力学的なものであり、いかなる半古典モデルでも説明できません。^{[ 20 ]}

基底状態にある原子が、コヒーレント状態に準備された場モードと相互作用する場合を考えます。したがって、原子-場系の初期状態は次のようになります。 $${\displaystyle |\psi (0)\rangle =|g,\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|g,n\rangle }$$

簡単にするために、共鳴の場合を考えます（${\displaystyle \Delta =0}$^{) の場合、n番目の}数部分空間 のハミルトニアンは次のようになります。$${\displaystyle {\hat {H}}_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right){\hat {I}}^{(n)}+{\frac {\hbar {\sqrt {n}}\Omega }{2}}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}}$$

これを用いると、原子・場系の時間発展は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi (t)\rangle &=e^{-i{\hat {H}}_{n}t/\hbar }|\psi (0)\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {I}}^{(n)}-i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}{\hat {\sigma }}_{x}^{(n)}\right)|g,n\rangle \\&=e^{-|\alpha |^{2}/2}|g,0\rangle +\sum _{n=1}^{\infty }e^{-|\alpha |^{2}/2}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-in\omega _{c}t}\left(\cos {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|g,n\rangle -i\sin {({\sqrt {n}}\Omega t/2)}|e,n-1\rangle \right)\end{aligned}}}$$ 定数係数のどちらも${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{c}}{2}}{\hat {I}}^{(n)}}$または${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$これらは零点エネルギーを表すため、全体的な位相を超えたダイナミクスに寄与します。この場合、原子が後になって励起状態に反転した確率は${\displaystyle t}$は： $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)=\left|\langle e|\psi (t)\rangle \right|^{2}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-|\alpha |^{2}}}{n!}}|\alpha |^{2n}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {n}}\Omega t\right)\\[2ex]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{-\langle n\rangle }\langle n\rangle ^{n}}{n!}}\sin ^{2}(\Omega _{n}t)\\{}\end{aligned}}}$$ 私たちが特定した${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$コヒーレント状態における平均光子数とする。平均光子数が大きい場合、コヒーレント状態の統計はポアソン分布に従うため、分散対平均比は${\displaystyle \langle (\Delta n)^{2}\rangle /\langle n\rangle ^{2}\simeq 1/\langle n\rangle }$この結果を利用して展開すると${\displaystyle \Omega _{n}}$その周り${\displaystyle \langle n\rangle }$最小の非零次数に${\displaystyle n}$与える： $${\displaystyle \Omega _{n}\simeq {\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {\langle n\rangle }}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {n-\langle n\rangle }{\langle n\rangle }}\right)}$$ これを合計式に代入すると、指数関数の複雑な積が得られます。 $${\displaystyle P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {e^{-\langle n\rangle }}{4}}\cdot \left(e^{-i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left(-{\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]+e^{i{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t/2}\exp \left[\langle n\rangle \exp \left({\frac {i\Omega t}{2{\sqrt {\langle n\rangle }}}}\right)\right]\right)}$$

「短い」時間の場合、${\displaystyle {\frac {\Omega t}{2}}\ll {\sqrt {\langle n\rangle }}}$最後の項の二重指数関数内の内側の指数関数を2次まで展開すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle P_{e}(t)\simeq {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \cos \left[{\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega t\right]e^{-\Omega ^{2}t^{2}/8}}$$

この結果は、励起状態の占有確率が実効周波数で振動することを示している。${\textstyle \Omega _{\text{eff}}={\sqrt {\langle n\rangle }}\Omega }$また、特性時間で減衰することも示されています。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 31 ]}$${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\sqrt {2}}{\Omega }}}$$

崩壊は、異なる周波数成分が位相がずれて時間とともに破壊的干渉を起こし始めることによる破壊的干渉の結果として容易に理解できる。^{[ 31 ] [ 32 ]}しかし、周波数が離散スペクトルを持つという事実は、より長い時間領域で別の興味深い結果をもたらす。その場合、ゆっくりと変化する二重指数関数の周期性から、時間で確率が 復活することも予測される。$${\displaystyle \tau _{r}={\frac {4\pi }{\Omega }}{\sqrt {\langle n\rangle }}.}$$