ラビ問題

ラビ問題は、原子の固有振動数に非常に近い周波数で印加された高調波電場に対する原子の応答に関するものです。これは、光と原子の相互作用の単純かつ一般的に解決可能な例であり、イシドール・アイザック・ラビにちなんで名付けられました。

古典的なアプローチでは、ラビ問題は、ローレンツ力の電気部分を駆動項 とする駆動減衰調和振動子の解によって表すことができます。

${\displaystyle {\ddot {x}}_{a}+{\frac {2}{\tau _{0}}}{\dot {x}}_{a}+\omega _{a}^{ 2}x_{a}={\frac {e}{m}}E(t,\mathbf {r} _{a}),}$

ここで、原子は中性原子の周りの平衡位置の周りを振動する荷電粒子（電荷e ）として扱うことができると仮定されています。ここで、 x _{a は}瞬間的な振動の大きさ、固有振動周波数、および固有寿命 です。${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \tau_{0}}$

${\displaystyle {\frac {2}{\tau _{0}}}={\frac {2e^{2}\omega _{a}^{2}}{3mc^{3}}},}$

これは、電磁放射による双極子発振器のエネルギー損失に基づいて計算されています。

これをラビ問題に適用するには、電場Eが時間的に振動し、空間的に一定であると仮定します。

${\displaystyle E=E_{0}[e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}]=2E_{0}\cos \omega t,}$

そして、x _{a は}駆動電界と同位相の部分u _a (分散に対応) と位相がずれた 部分v _{a (吸収に対応) に分解されます。}

${\displaystyle x_{a}=x_{0}(u_{a}\cos \omega t+v_{a}\sin \omega t).}$

ここで、x _{0 は}一定であると仮定しますが、u _aとv _{a は}時間とともに変化することが許されます。ただし、システムが共鳴 ( ) に非常に近い場合、 これらの値は時間とともにゆっくりと変化し、、および、と仮定することができます。${\displaystyle \omega \approx \omega _{a}}$${\displaystyle {\dot {u}}_{a}\ll \omega u_{a}}$${\displaystyle {\dot {v}}_{a}\ll \omega v_{a}}$${\displaystyle {\ddot {u}}_{a}\ll \omega ^{2}u_{a}}$${\displaystyle {\ddot {v}}_{a}\ll \omega ^{2}v_{a}}$

これらの仮定のもと、同位相部分と逆位相部分のローレンツ力方程式は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v-{\frac {u}{T}},}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u-{\frac {v}{T}}+\kappa E_{0},}$

ここで、自然寿命をより一般的な有効寿命T（衝突などの他の相互作用を含む可能性がある）に置き換え、添え字aを削除して、新たに定義されたデチューニングを採用しました。これは、異なる共鳴周波数の原子を区別するのに同様に役立ちます。最後に、定数 ${\displaystyle \tau_{0}}$ ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{a}}$

${\displaystyle \kappa \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {e}{m\omega x_{0}}}}$

定義されました。

これらの方程式は次のように解くことができます。

${\displaystyle u(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t-v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}+\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\sin \delta (tt')e^{-(tt')/T},}$

${\displaystyle v(t;\delta )=[u_{0}\cos \delta t+v_{0}\sin \delta t]e^{-t/T}-\kappa E_{0}\int _{0}^{t}dt'\cos \delta (tt')e^{-(tt')/T}.}$

すべての過渡現象が消えた後、定常解は単純な形をとる。

${\displaystyle x_{a}(t)={\frac {e}{m}}E_{0}\left({\frac {e^{i\omega t}}{\omega _{a}^{2}-\omega ^{2}+2i\omega /T}}+{\text{cc}}\right),}$

ここで、「cc」は反対の項の 複素共役を表します。

古典的なラビ問題はいくつかの基本的な結果と問題のわかりやすい図式を与えてくれますが、反転、自然放出、ブロッホ・ジーゲルトシフトなどの現象を理解するためには、完全に量子力学的な処理が必要です。

最も単純なアプローチは、 2 レベル原子近似を使用することです。この近似では、問題の原子の 2 つのエネルギー レベルのみを扱います。実際には、2 つのエネルギー レベルのみを持つ原子は存在しませんが、たとえば原子内の 2 つの超微細状態間の遷移は、駆動が共鳴からそれほど離れていないと仮定すると、第一近似では、それらの 2 つのレベルのみが存在するかのように扱うことができます。

2 レベル原子の便利な点は、任意の 2 レベル システムが、電場内の擬似スピン ベクトルのダイナミクスを定義する ブロッホ方程式に従って、スピン 1/2システムと本質的に同じように進化することです。

${\displaystyle {\dot {u}}=-\delta v,}$

${\displaystyle {\dot {v}}=\delta u+\kappa Ew,}$

${\displaystyle {\dot {w}}=-\kappa Ev,}$

ここで、高角速度（したがって長時間にわたる全スピンダイナミクスへの影響は小さい）の項を除外して回転波近似を行い、周波数で回転する座標の集合に変換しました。 ${\displaystyle \omega}$

ここで、これらの方程式と、古典的なケースで振動の同相成分と逆相成分の発展を定義した方程式との間には、明らかな類似点があります。ただし、3 番目の項wがあり、これは励起状態と基底状態の間の人口差として解釈できます (完全に基底状態にあることを示す -1 から完全に励起状態にあることを示す +1 まで変化します)。古典的なケースでは、原子振動子が占有できる連続エネルギー スペクトルがありましたが、量子ケースでは (想定したとおり)、問題の可能な (固有) 状態は 2 つしかないことに注意してください。

これらの方程式は行列形式で表すこともできます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\delta &0\\\delta &0&\kappa E\\0&-\kappa E&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}.}$

これらの方程式はベクトル歳差方程式として表すことができることは注目に値します。

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\rho } }{dt}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\rho } ,}$

ここで は擬似スピンベクトルであり、有効トルクとして機能します。 ${\displaystyle \mathbf {\rho } =(u,v,w)}$${\displaystyle \mathbf {\オメガ } =(-\カッパ E,0,\デルタ )}$

以前と同様に、ラビ問題は、電場Eが一定の大きさE ₀ :で振動していると仮定して解く。この場合、解は上記の行列方程式に2つの連続した回転を適用することで得られ、次の形式となる。 ${\displaystyle E=E_{0}(e^{i\omega t}+{\text{cc}})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \chi &0&\sin \chi \\0&1&0\\-\sin \chi &0&\cos \chi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u'\\v'\\w'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \Omega t&\sin \Omega t\\0&-\sin \Omega t&\cos \Omega t\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u''\\v''\\w''\end{bmatrix}},}$

どこ

${\displaystyle \tan \chi ={\frac {\delta }{\kappa E_{0}}},}$

${\displaystyle \Omega (\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}}}.}$

ここで、周波数は一般化ラビ周波数と呼ばれ、変換されたu '軸（上記の最初の座標変換で与えられる）の周りの擬似スピン ベクトルの歳差運動の速度を与えます。 たとえば、電場（またはレーザー）が正確に共鳴している場合（ となる）、擬似スピン ベクトルはの速度でu軸の周りを歳差運動します。 この（共鳴時の）パルスが、もともとすべて基底状態（ w = −1）にある原子の集まりに時間 の間照射された場合、パルスの後に、 u軸の周りの（または 180°）回転により、原子はすべて励起状態（w = +1）になります。 これは -パルスと呼ばれ、完全な反転の結果となります。 ${\displaystyle \Omega (\delta )}$${\displaystyle \delta =0}$${\displaystyle \kappa E_{0}}$${\displaystyle \Delta t=\pi /\kappa E_{0}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

一般的な結果は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}&-{\frac {\delta }{\Omega }}\sin {\Omega t}&-{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)\\{\frac {\delta }{\Omega }}\sin \Omega t&\cos \Omega t&{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin \Omega t\\{\frac {\delta \kappa E_{0}}{\Omega ^{2}}}(1-\cos \Omega t)&-{\frac {\kappa E_{0}}{\Omega }}\sin {\Omega t}&{\frac {\delta ^{2}+(\kappa E_{0})^{2}\cos \Omega t}{\Omega ^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{0}\\v_{0}\\w_{0}\end{bmatrix}}.}$

反転wの式は、原子が最初は基底状態（w ₀ = −1）にあり、 u ₀ = v ₀ = 0であると仮定すると大幅に簡略化できます。この場合、

${\displaystyle w(t;\delta )=-1+{\frac {2(\kappa E_{0})^{2}}{(\kappa E_{0})^{2}+\delta ^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right).}$

量子アプローチでは、周期的な駆動力は周期的な摂動として考えることができるため、問題は時間依存摂動論を用いて解くことができ、

${\displaystyle H(t)=H^{0}+H^{1}(t),}$

ここで は時間に依存しないハミルトニアンで、元の固有状態を与え、 は時間に依存する摂動である。時刻 において、状態を次のように展開できると 仮定する。${\displaystyle H^{0}}$${\displaystyle H^{1}(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \phi (t)=\sum _{n}d_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle ,}$

ここで、は非摂動状態の固有状態を表します。非摂動システムの場合、は定数です。次に、周期的な摂動の下で計算してみましょう。^{[説明が必要]}前の式の両辺に 演算子を適用すると、次の式が得られます。${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle d_{n}(t)=d_{n}(0)}$${\displaystyle d_{n}(t)}$${\displaystyle H^{1}(t)=H^{1}e^{-i\omega t}}$${\displaystyle i\hbar \partial /\partial t-H^{0}-H^{1}}$

${\displaystyle 0=\sum _{n}[i\hbar {\dot {d}}_{n}-H^{1}e^{-i\omega t}d_{n}]e^{-iE_{n}^{0}t/\hbar }|n\rangle ,}$

そして方程式の両辺に次の値を掛けます。 ${\displaystyle \langle m|e^{iE_{m}^{0}t/\hbar }}$

${\displaystyle i\hbar {\dot {d}}_{m}=\sum _{n}\langle m|H^{1}|n\rangle e^{i(\omega _{mn}-\omega )t}d_{n}.}$

励起周波数が2つの状態との間の共鳴にあるとき、すなわち のとき、それは2レベルシステムの通常モード問題となり、次のことが簡単にわかる。 ${\displaystyle |m\rangle }$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle \omega =\omega _{mn}}$

${\displaystyle d_{m,n}(t)=d_{m,n,+}(0)e^{i\Omega t}+d_{m,n,-}(0)e^{-i\Omega t},}$

どこ${\displaystyle \Omega ={\frac {\langle m|H^{1}|n\rangle }{\hbar }}.}$

時刻tに状態mにある確率は

${\displaystyle P_{m}=d_{m}(t)^{*}d_{m}(t)=d_{m,-}^{2}(0)+d_{m,+}^{2}(0)+2d_{m,-}(0)d_{m,+}(0)\cos(2\Omega t).}$

の値はシステムの初期条件によって異なります。 ${\displaystyle d_{m,\pm }(0)}$

振動磁場におけるスピン 1/2 システムの正確な解は、Rabi (1937) によって解かれました。彼らの研究から、Rabi 振動周波数は振動磁場の強度に比例することが明らかです。

ブロッホのアプローチでは、場は量子化されておらず、結果として生じるコヒーレンスも共鳴も十分に説明されていません。

QFTアプローチ、主にJaynes-Cummingsモデルについては作業^[明確化]が必要です。

• ラビサイクル
• ラビ周波数
• 真空ラビ振動

• Allen, L; Eberly, JH (1987).光共鳴と二準位原子. ニューヨーク: ドーバー. ISBN 978-0-486-65533-8. OCLC  17233252.

• Rabi, II (1937-04-15). 「回転磁場における空間量子化」. Physical Review . 51 (8). アメリカ物理学会 (APS): 652–654. Bibcode :1937PhRv...51..652R. doi :10.1103/physrev.51.652. ISSN  0031-899X.