量子散逸

量子散逸は、古典レベルで観察されるエネルギーの不可逆的な損失の過程の量子類似物を研究する物理学の分野です。その主な目的は、量子力学の枠組みから古典散逸の法則を導き出すことです。量子散逸は、量子デコヒーレンスや量子測定理論の主題と多くの特徴を共有しています。

散逸を記述する典型的なアプローチは、システム全体を 2 つの部分に分割することです。散逸が発生する量子システムと、前者のエネルギーが流入するいわゆる環境または浴です。両方のシステムの結合方法は、ミクロモデルの詳細、つまり浴の記述によって異なります。エネルギーの不可逆な流れを含めるには (つまり、エネルギーが最終的にシステムに戻るポアンカレ回帰を回避するには)、浴に無限の自由度が含まれている必要があります。普遍性の原理により、モデルに効果をもたらす最小限の要素が含まれている限り、浴の特定の記述が散逸プロセスの本質的な特徴に影響を与えないことが期待されることに注意してください。

バスをモデル化する最も簡単な方法は、1963年の独創的な論文でファインマンとバーノンによって提案されました。^[1]この説明では、バスは無限の数の調和振動子の合計であり、量子力学では自由ボソン粒子の集合を表します。

1981年、アミール・カルデイラとアンソニー・J・レゲットは、量子の観点から散逸がどのように生じるかを詳細に研究するための単純なモデルを提案した。^[2]これは、1次元の量子粒子が浴槽に結合された状態を記述する。ハミルトニアンは次のように表される。

${\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2M}}+V(X)+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)-X\sum _{i}{C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2}}}}$、

最初の 2 つの項は、位置 のポテンシャルにある、質量と運動量の量子粒子のハミルトニアンに対応します。3 番目の項は、位置 にある質量と運動量の調和振動子の無限和として浴を記述します。は調和振動子の周波数です。次の項は、システムと浴が結合する方法を記述します。Caldeira–Leggett モデルでは、浴は粒子の位置に結合されます。は結合の詳細に依存する係数です。最後の項は、散逸がすべての空間で均一であることを保証するために含めなければならないカウンター項です。浴は位置 に結合されるため、この項が含まれていない場合、モデルは並進不変ではなく、量子粒子がどこにあっても結合が異なるという意味です。これにより、ポテンシャルの非物理的な再正規化が発生しますが、これは実数ポテンシャルを使用することで抑制できることが示されています。^[3]${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle \omega_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$

消散メカニズムを適切に説明するために、関連する量は次のように定義される浴スペクトル関数です。

${\displaystyle J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}$

浴槽のスペクトル関数は、係数の選択に制約を与えます。この関数が の形をとるとき、^{[説明が必要]}対応する古典的な種類の散逸はオーミックであると示すことができます。より一般的な形は です 。この場合、散逸 は「スーパーオーミック」と呼ばれ、 はサブオーミックと呼ばれます。スーパーオーミック浴槽の例としては、特定の状況下での電磁場が挙げられます。 ${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle J(\omega )=\eta \omega }$${\displaystyle J(\omega )\propto \omega ^{s}}$${\displaystyle s>1}$${\displaystyle s<1}$

前述のように、量子散逸の分野における主な考え方は、量子力学の観点から古典的散逸を記述する方法を説明することです。Caldeira-Leggett モデルの古典的極限を得るには、浴を積分して (またはトレースして) 外す必要があります。これは、浴のすべての可能な実現の平均を取り、量子システムの有効なダイナミクスを研究することとして理解できます。2 番目のステップとして、古典力学を回復するために極限を取る必要があります。これらの技術的な手順を数学的に進めるには、通常、量子力学の経路積分記述が使用されます。結果として得られる古典的な運動方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (tt')(X(t)-X(t'))}$

どこ：

${\displaystyle \alpha (tt')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |tt'|}d \オメガ }$

は、散逸が存在する場合の粒子の運動に影響を与える有効な力を特徴付ける核です。システムとの相互作用を記憶しないいわゆるマルコフ浴やオーム散逸の場合、運動方程式は摩擦を伴う粒子の古典的な運動方程式に簡略化されます。

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}}$

したがって、Caldeira-Leggett モデルが量子力学の枠組みから古典的な散逸を得るという目標をどのように達成しているかがわかります。Caldeira-Leggett モデルは1981 年の導入以来、量子散逸問題の研究に使用されており、量子デコヒーレンスの分野でも広く使用されています。

散逸2レベルシステムは、量子計算の分野での関心の高さから特に注目に値するカルデイラ・レゲットモデルの特別な実現です。このモデルの目的は、連続的な自由度ではなく、2つの異なる位置の間を飛び回ることができる粒子のダイナミクスにおける散逸の影響を研究することです。この縮小されたヒルベルト空間により、問題を次のように記述できます。1/2⁠ -スピン演算子。これは文献ではスピンボソンモデルと呼ばれることもあり、ジェインズ・カミングスモデルと密接に関連しています。

散逸2レベルシステムのハミルトニアンは次のように表されます。

${\displaystyle H=\Delta {\frac {\sigma _{x}}{2}}+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+{\frac {\sigma _{z}}{2}}\sum _{i}{C_{i}q_{i}}}$、

ここで、 と はパウリ行列であり、 は2 つの可能な位置間のホッピングの振幅です。このモデルでは、 への結合によって既に均一な散逸が得られるため、カウンター項は不要であることに注意してください。 ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S_{z}}$

このモデルには多くの用途があります。量子散逸では、二重井戸ポテンシャルに閉じ込められた散逸粒子のダイナミクスを研究するための単純なモデルとして使用されます。量子計算のコンテキストでは、デコヒーレンスを生成できる環境に結合した量子ビットを表します。非晶質固体の研究では、その熱力学的特性を記述する標準理論の基礎を提供します。

散逸 2 レベル システムは、量子相転移の研究におけるパラダイムでもあります。浴への結合の臨界値では、粒子が 2 つの位置の間で非局在化する状態から、粒子が 1 つの位置だけに局在化する状態への相転移を示します。ホッピング項の再正規化グループフロー方程式 を導出するとわかるように、この転移はKosterlitz-Thouless型です。

エネルギー散逸を記述する別のアプローチは、時間依存ハミルトニアンを考慮することである。よくある誤解に反して、結果として得られるユニタリーダイナミクスは、特定の自由度がエネルギーを失い、他の自由度がエネルギーを得るため、エネルギー散逸を記述することができる。^[4]しかし、システムの量子力学的状態は純粋なままであるため、サブシステムが選択され、このオープン量子システムの縮退密度行列が分析されない限り、このようなアプローチでは位相のずれを記述できない。 ^{[5]位相のずれは}量子デコヒーレンスまたは情報散逸につながり、オープン量子システムを記述する際に重要になることが多い。しかし、このアプローチは、例えば光学実験の記述に典型的に使用される。そこでは、光パルス（時間依存の半古典的ハミルトニアンで記述される）は、刺激吸収または放出によってシステム内のエネルギーを変えることができる。^[要出典]

• 拡張環境における散逸モデル
• ジェインズ・カミングスモデル
• オープン量子システム
• リンドブラッド方程式
• 量子デコヒーレンス
• 位相のずれ

• U. Weiss、「量子散逸システム」（1992 年）、World Scientific。
• Leggett, AJ; Chakravarty, S.; Dorsey, AT; Fisher, Matthew PA; Garg, Anupam; Zwerger, W. (1986 年 12 月 1 日). 「散逸 2 状態システムのダイナミクス」.現代物理学レビュー. 59 (1). アメリカ物理学会 (APS): 1– 85. doi :10.1103/revmodphys.59.1. hdl : 2142/94708 . ISSN  0034-6861.
• P. Hänggi および GL Ingold、「量子ブラウン運動の基礎的側面」、Chaos、vol. 15、ARTN 026105 (2005); http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/Papers/378.pdf

• 量子ダイナミクスの可視化: スピン-ボソン ハミルトニアン、Wayback Machineに 2015-02-13 にアーカイブ、Jared Ostmeyer および Julio Gea-Banacloche、アーカンソー大学。
• 量子ダイナミクスの視覚化: Jaynes-Cummings モデル、Wayback Machineに 2014-07-01 にアーカイブ、Jared Ostmeyer および Julio Gea-Banacloche、アーカンソー大学。