回転波近似

回転波近似は、原子光学や磁気共鳴で使われる近似です。この近似では、ハミルトニアンで急速に振動する項は無視されます。これは、適用される電磁放射が原子遷移と共鳴に近く、強度が低い場合に有効な近似です。^[1]明示的には、周波数とともに振動するハミルトニアン内の項は無視され、周波​​数とともに振動する項は保持されます。ここで、は光の周波数、は遷移周波数です。 ${\displaystyle \omega _{L}+\omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{L}}$${\displaystyle \omega _{0}}$

この近似の名前は、以下に示すように、相互作用図におけるハミルトニアンの形に由来しています。この図に切り替えると、対応する原子ハミルトニアンによる原子の発展はシステムketに吸収され、原子と光場との相互作用による発展のみが考慮されるようになります。この図では、前述の急速に振動する項を無視できます。ある意味では、相互作用図はシステム ket とともに回転すると考えられるため、ほぼ共回転する電磁波の部分のみが保持され、反対方向に回転する成分は破棄されます。

回転波近似は永年近似と密接に関連しているが、異なるものである。^[2]

簡単にするために、基底状態と励起状態を持つ2レベルの原子系を考えます（ディラックの括弧記法を使用）。状態間のエネルギー差を とすると、 は系の遷移周波数になります。すると、原子の 非摂動ハミルトニアンは次のように表すことができます。${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$。

原子が、周波数 の外部古典電場（空間を伝播する平面波など）に さらされていると仮定する。双極子近似のもとでは、原子と電場の間の相互作用ハミルトニアンは次のように表される。 ${\displaystyle \omega _{L}}$${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$、

ここで は原子の双極子モーメント演算子である。原子-光システムの全ハミルトニアンは従って である。原子はエネルギー固有状態 にあるときは双極子モーメントを持たないので、 を定義すると双極子演算子は次のように書ける。 ${\displaystyle {\vec {d}}}$${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

（複素共役を表す）相互作用ハミルトニアンは次のように表される。 ${\displaystyle ^{*}}$

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

ここではラビ周波数、 は逆回転周波数です。これらの項が逆回転と呼ばれる理由を理解するために、相互作用またはディラック図へのユニタリ変換を考えます。ここで変換されたハミルトニアンは次のように表されます。 ${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

光場と原子の間の離調は どこにあるか。${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$

これは回転波近似が行われるポイントです。双極子近似が仮定されており、これが有効であるためには電場が原子遷移と共鳴に近い必要があります。これは、および複素指数関数が乗算され、急速に振動していると考えられることを意味します。したがって、任意の顕著な時間スケールで、振動はすぐに平均化されて 0 になります。回転波近似は、これらの項を無視できるという主張であり、したがってハミルトニアンは相互作用図で次のように記述できます。 ${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

最後に、シュレーディンガー描像に戻すと、ハミルトニアンは次のように表される。

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

回転波近似のもう一つの基準は弱結合条件、つまりラビ周波数が遷移周波数よりもはるかに小さくなければならないということである。^[1]

この時点で回転波の近似は完了です。これ以降の一般的な最初のステップは、別のユニタリ変換によってハミルトニアンの残りの時間依存性を除去することです。

上記の定義から、相互作用ハミルトニアンは

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

述べたように、次のステップは相互作用図におけるハミルトニアンを見つけることです。必要なユニタリ変換は ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$、

ここで、3 番目のステップは、テイラー級数展開を使用し、状態との直交性を使用して証明できます 。ユニタリ演算子の の全体位相による乗算は、基礎となる物理に影響を及ぼさないため、 の以降の使用ではこれを無視します。 を適用すると、次のようになります。${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

ここで、前のセクションで説明したように、逆回転項を除去して RWA を適用します。

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

最後に、近似ハミルトニアンをシュレーディンガー像に戻します。 ${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

原子ハミルトニアンは近似の影響を受けないので、回転波近似によるシュレーディンガー描像の全ハミルトニアンは

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$