マルチェンコ方程式

数理物理学、より具体的には一次元逆散乱問題において、イスラエル・ゲルファンド、ボリス・レビタン、ヴォロディミル・マルチェンコにちなんで名付けられたマルチェンコ方程式（またはゲルファンド・レビタン・マルチェンコ方程式、GLM方程式）は、散乱関係のフーリエ変換を計算することによって導出される。

${\displaystyle K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0}$

どこ${\displaystyle g(r,r^{\prime })\,}$は対称カーネルであり、${\displaystyle g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,}$これは散乱データから計算される。マルチェンコ方程式を解くと、変換演算子の核が得られる。${\displaystyle K(r,r^{\prime })}$そこから電位を読み取ることができる。この方程式は、ゲルファント・レビタン積分方程式から、ポヴズナー・レビタン表現を用いて導出される。

潜在的な${\displaystyle u(x)}$シュレーディンガー演算子の場合${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)}$散乱データがある${\displaystyle (r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})}$、 どこ${\displaystyle r(k)}$は連続散乱からの反射係数であり、関数として与えられる。${\displaystyle r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$、そして実際のパラメータ$\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$これらは離散的な束縛スペクトルから得られる。^{[ 1 ]}

次に定義する $${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,}$$ どこで$\displaystyle \beta _{n}}$はゼロでない定数であり、GLM方程式を解く $${\displaystyle K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0}$$ のために${\displaystyle K}$式を使用して回復できる可能性 $${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}$$

• ラクロスペア

• ドゥナイスキー、マチェイ (2009)。ソリトン、インスタントン、ツイスター。オックスフォード;ニューヨーク: OUP オックスフォード。ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC 320199531 . 
• Marchenko, VA (2011). Sturm–Liouville Operators and Applications (2nd  ed.). Providence: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-5316-0MR 2798059 .​ 
• ケイ、アービン・W. (1955).逆散乱問題. ニューヨーク: クーラント数理科学研究所、ニューヨーク大学. OCLC 1046812324 . 
• レビンソン、ノーマン（ 1953 ）。「位相シフトと散乱ポテンシャルの間の特定の明示的な関係」。フィジカルレビュー。89 （4）：755–757。Bibcode：1953PhRv...89..755L。doi：10.1103 / PhysRev.89.755。ISSN 0031-899X。