電界積分方程式

電界積分方程式は、電流分布（J ）によって生成される電界（E ）を計算できる関係です。

周波数領域内のすべての量を考慮すると、全体にわたって抑制された時間依存性が想定されます。 ${\displaystyle e^{jwt}}$

電場と磁場を関連付けるマクスウェル方程式から始め、透磁率と誘電率を持つ線形で均質な媒体を仮定します。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-j\omega \mu \mathbf {H} \\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} &=j\omega \varepsilon \mathbf {E} +\mathbf {J} \end{整列}}}$$

ベクトル解析 によるHの発散を含む 3 番目の方程式に従うと、任意の発散のないベクトルを別のベクトルの 回転として書き表すことができます。したがって、 ここでAは磁気ベクトルポテンシャルと呼ばれます。これを上に代入すると、次の式が得られます 。また、任意の回転のないベクトルはスカラーの 勾配 として書き表すことができます。したがって、 ここで は電気スカラーポテンシャルです。これらの関係により、 ここでと書き表すことができます。これは 、ベクトル恒等式によって次のように書き直すことができます 。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0\,}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {H} }$$$${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} )=0}$$$${\displaystyle \mathbf {E} +j\omega \mu \mathbf {A} =-\nabla \Phi }$$${\displaystyle \Phi}$$${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi }$$${\displaystyle k=\omega {\sqrt {\mu \varepsilon }}}$$${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} -k^{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} -j\omega \varepsilon \nabla \Phi }$$

Aの回転のみを指定しているので、発散を自由に定義し、次を選択できます。 これはローレンツゲージ条件 と呼ばれます。 Aの以前の式は、 ベクトルヘルムホルツ方程式に簡約されます 。この方程式のAの解は、 3次元同次グリーン関数 で、次式で与えられます。 $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =-j\omega \varepsilon \Phi \,}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mathbf {J} \,}$$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\ G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,d\mathbf {r} ^{\prime }}$$${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })}$$${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {e^{-jk\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}}$$

電界EとベクトルポテンシャルAを関連付ける電界積分方程式（EFIE）と呼ばれるものを書くことができる。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-j\omega \mu \mathbf {A} +{\frac {1}{j\omega \varepsilon }}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )\,}$$

さらにEFIEを2項形式で表すと、次のようになる。 ここで2項同次グリーン関数は次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-j\omega \mu \int _{V}d\mathbf {r} ^{\prime }\mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ^{\prime })\,}$$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })\,}$$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {I} +{\frac {\nabla \nabla }{k^{2}}}\right]G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })}$$

EFIE は、放射源Jのセットが与えられたときの放射場Eを記述するもので、アンテナの解析と設計で使用される基本的な方程式です。これは、アンテナ上の電流分布がわかれば、あらゆる種類のアンテナの放射場を計算するために使用できる非常に一般的な関係です。EFIE の最も重要な側面は、境界のない領域、つまり境界が無限遠にある領域での放射/散乱問題を解くことができることです。閉じた表面の場合、磁場積分方程式または複合場積分方程式を使用できます。どちらも、EFIE と比較して条件数が改善された方程式のセットになります。ただし、MFIE と CFIE には依然として共鳴が含まれる可能性があります。

散乱の問題では、既知の入射場 による未知の散乱場 を決定することが望ましいです。残念ながら、EFIE は散乱場を入射場 ではなくJに関連付けるため、 Jが何であるかはわかりません。この種の問題は、境界条件を入射場と散乱場に課すことで解決でき、EFIE をとJのみで記述できるようになります。これが完了すると、積分方程式は、モーメント法などの積分方程式に適した数値手法で解くことができます。 ${\displaystyle E_{s}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$

ヘルムホルツの定理により、ベクトル場は発散と回転によって完全に記述されます。発散は定義されていないため、以降のすべての分析でAの発散のこの定義を一貫して使用するという条件で、上記のローレンツ ゲージ条件を選択することは正当化されます。ただし、 の他の選択も同様に有効であり、同じ現象を記述する他の方程式につながり、 の任意の選択に対する方程式の解は同じ電磁場につながり、場と電荷に関する同じ物理的予測がそれらによって加速されます。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$

量が選択においてこの程度の自由度を示す場合、それを実際の物理量として解釈すべきではないと考えるのは自然なことです。結局のところ、自由に何でも選択できる場合、 は一意ではありません。実験で測定されたの「真の」値は何ですかと尋ねる人がいるかもしれません。が一意でない場合、唯一の論理的な答えは、 の値を測定することはできないということです。これに基づいて、 は実際の物理量ではないとよく言われ、フィールドと が真の物理量である と信じられています。${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

しかし、荷電粒子の位置でとの値が両方ともゼロである実験が少なくとも 1 つあります。ただし、これは局所的な磁気ベクトル ポテンシャルの存在によって影響を受けます。詳細については、アハロノフ-ボーム効果を参照してください。ただし、アハロノフ-ボーム実験でも、発散は計算にはまったく考慮されません。測定可能な効果は、粒子の経路に沿ってのみ決まります。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$