廃墟理論

保険数理学および応用確率論において、破産理論（リスク理論^{[ 1 ]}または集合的リスク理論とも呼ばれる）は、保険会社の破産/倒産に対する脆弱性を記述するために数学モデルを使用する。このようなモデルにおいて重要な関心事は、破産確率、破産直前の剰余金の分配、および破産時の赤字である。

破産理論の理論的基礎は、クラメール・ルンドベリ・モデル（または古典的複合ポアソンリスクモデル、古典的リスク過程^{[ 2 ]}またはポアソンリスク過程）として知られ、1903年にスウェーデンの保険数理士フィリップ・ルンドベリによって導入されました。^{[ 3 ]}ルンドベリの研究は、1930年代にハラルド・クラメールによって再出版されました。^{[ 4 ]}

このモデルは、2つの相反するキャッシュフロー（入ってくる保険料と出ていく保険金）を経験する保険会社を描写している。保険料は一定の割合で入ってくる。${\textstyle c>0}$顧客からの請求はポアソン過程に従って発生する${\displaystyle N_{t}}$強烈に${\textstyle \lambda }$は独立同分布の非負の確率変数である。$\displaystyle \xi _{i}}$配布付き${\textstyle F}$そして意味する${\textstyle \mu }$（これらは複合ポアソン過程を形成します）。したがって、初期剰余金から始める保険会社の場合${\textstyle x}$総資産${\displaystyle X_{t}}$は次のように与えられます: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.}$

このモデルの中心的目的は、保険会社の剰余金水準が最終的にゼロを下回る（つまり、会社が破産する）確率を調査することである。この量は、最終的な破綻確率と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$、

破滅の時が${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$慣習により${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$これは、ポラチェック・ヒンチン公式を使用して正確に計算できます^{[ 6 ]} （ここでの破産関数は、M/G/1待ち行列の待ち時間の定常分布のテール関数に相当します^{[ 7 ]}）。

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

どこ${\displaystyle F_{l}}$は、テール分布の変換です。${\displaystyle F}$、

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

そして$\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$は${\displaystyle n}$- 重畳み込み。請求額が指数分布に従う場合、これは^{[ 7 ]に単純化されます。}

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

保険料が予想損失に等しいと仮定すると、${\displaystyle c=\lambda \mu }$最終的に、その会社が1の確率で破産することがわかります。

E. スパーレ・アンデルセンは1957年に古典的なモデルを拡張し^{[ 8 ]、}請求の到着間隔時間が任意の分布関数を持つことを可能にした^{[ 9 ] 。}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,}$

請求番号の処理${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$更新プロセスであり、${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$これらは独立同分布の確率変数である。さらに、このモデルは以下を仮定する。$\displaystyle \xi _{i}>0$ほぼ確実に、そして${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$そして ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$これらは独立している。このモデルは再生リスクモデルとも呼ばれる。

Michael R. Powers ^{[ 10 ]}と Gerber および Shiu ^{[ 11 ] は}、期待割引ペナルティ関数を通じて保険会社の剰余金の挙動を分析しました。この関数は、破産に関する文献では一般的に Gerber-Shiu 関数と呼ばれ、アクチュアリー科学者のElias SW ShiuとHans-Ulrich Gerberにちなんで名付けられています。Powers の貢献により、この関数が Powers-Gerber-Shiu 関数と呼ばれるべきだったかどうかは議論の余地があります。^{[ 10 ]}

パワーズの記法では、これは次のように定義されます。

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$、

どこ${\displaystyle \delta }$金利の割引力は、$\displaystyle K_{\tau }}$は、破産時の保険会社の経済的コストと期待値を反映した一般的なペナルティ関数です。$\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$確率測度に対応する${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$. この関数は、パワーズによって期待割引倒産コストと呼ばれている。^{[ 10 ]}

ガーバーとシウの記法では、次のように表される。

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$、

どこ${\displaystyle \delta }$金利の割引力と${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$これは、破産時に保険会社が被る経済的コストを捉えるペナルティ関数である（破産前の剰余金に依存すると仮定される）。${\displaystyle X_{\tau -}}$そして破産時の赤字${\displaystyle X_{\tau }}$）そして期待${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$確率測度に対応する${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ここにインジケーター関数があります${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$罰則は破産が発生した場合にのみ適用されることを強調している。

期待割引ペナルティ関数の解釈は非常に直感的です。この関数は、発生するペナルティの保険数理上の現在価値を測定するため、${\displaystyle \tau }$ペナルティ関数は割引係数で乗算される。${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$そして、待ち時間の確率分布で平均化して${\displaystyle \tau }$ガーバーとシウ^{[ 11 ]}は、この関数を古典的な複合ポアソンモデルに適用したが、パワーズ^{[ 10 ]}は、保険会社の剰余金は拡散過程のファミリーによってより適切にモデル化されると主張した。

期待割引ペナルティ関数に分類される、破産に関連する様々な量が存在する。

期待割引ペナルティ関数のクラスに属するその他の金融関連量には、永久アメリカンプットオプション^{[ 12 ]} 、最適な行使時期における偶発債権などが含まれます。

• 一定金利の複合ポアソンリスクモデル
• 確率的関心を伴う複合ポアソンリスクモデル
• ブラウン運動リスクモデル
• 一般拡散過程モデル
• マルコフ変調リスクモデル
• 事故発生確率係数（APF）計算ツール – リスク分析モデル（@SBH）

• 財務リスク
• ボルテラ積分方程式 § 応用：破産理論
• 確率制約付きポートフォリオ選択

• ガーバー、HU（1979）。数学的リスク理論入門。フィラデルフィア：SSヒューブナー財団モノグラフシリーズ8。
• Asmussen S.、Albrecher H. (2010).破産確率、第 2 版。シンガポール: World Scientific Publishing Co.