Spt関数

spt関数(最小部分関数) は、数論における関数で、正の整数の各整数分割における最小部分の数の合計を数えます。これは分割関数に関連しています。^{[ 1 ]}

spt( n )の最初のいくつかの値は次のとおりです。

1、3、5、10、14、26、35、57、80、119、161、238、315、440、589 ... ( OEISの配列A092269 )

例えば、4つの部分からなる分割が5つあります（最小の部分に下線が引かれています）。

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

これらの分割には、それぞれ 1、1、2、2、4 個の最小部分があります。したがって、spt(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10 となります。

分割関数と同様に、spt( n ) には生成関数があります。それは次のように与えられます。

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}}$

どこ${\displaystyle (q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$。

機能${\displaystyle S(q)}$は模擬モジュール形式に関連しています。${\displaystyle E_{2}(z)}$を重み2の準モジュラーアイゼンシュタイン級数とし、${\displaystyle \eta (z)}$デデキントイータ関数を表す。すると、${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$関数

${\displaystyle {\チルダ {S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}}$

これは、完全なモジュラー群の重み3/2のモジュラー形式です。${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$乗数システム付き${\displaystyle \chi _{\eta }^{-1}}$、 どこ$\displaystyle \chi _{\eta }}$乗数システムは${\displaystyle \eta (z)}$。

spt( n )の閉じた公式は知られていないが、ラマヌジャンのような合同式が存在する。

${\displaystyle \mathrm {spt} (5n+4)\equiv 0\mod (5)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (7n+5)\equiv 0\mod (7)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (13n+6)\equiv 0\mod (13).}$