境界非圧縮面

低次元位相幾何学において、境界非圧縮面とは、境界圧縮と呼ばれる特定の種類の操作によって位相を単純化できない、 3 次元多様体内の 2 次元面のことです。

M が境界 を持つ3 次元多様 体であるとします。また、S は境界 を持つコンパクト面であり、 Mに適切に埋め込まれているとします。つまり、Sの境界はMの境界のサブセットであり、 Sの内点はMの内点のサブセットです。M内のSの境界圧縮ディスクは、 および がの弧であり、、であり、がSの必須弧であるようなM内のディスクDとして定義されます(は、 S内のディスクと 内の別の弧を共境界としません)。 ${\displaystyle D\cap S=\alpha }$${\displaystyle D\cap \partial M=\beta }$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle \alpha \cup \beta =\partial D}$${\displaystyle \alpha \cap \beta =\partial \alpha =\partial \beta }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \partial (S}$

表面Sが境界圧縮可能であると言われるのは、SがM 内の円板と球を共境界とする円板であるか、またはSに対してM内の境界圧縮円板が存在する場合です。それ以外の場合、Sは境界非圧縮です。 ${\displaystyle \partial M}$

あるいは、面が適切に埋め込まれているという要件を削除することで、この定義を緩和することができます。ここで、S は3 次元多様体Mの境界に埋め込まれたコンパクトな面(境界付き)であるとします。さらに、D はM内の適切に埋め込まれたディスクであり、D はSと本質的な弧 ( S内のディスクと 内の別の弧が共境界にならないもの)で交差するとします。このとき、 DはM内のSに対する境界圧縮ディスクと呼ばれます。上記のように、Sが 内のディスクであるか、 M内にSに対する境界圧縮ディスクが存在する場合、 Sは境界圧縮可能と呼ばれます。それ以外の場合、S は境界非圧縮です。 ${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle \partial M}$

たとえば、K が立体トーラスVの境界に埋め込まれた三つ葉結び目で、Sが におけるKの小さな環状近傍の閉包である場合、Sの内部はVの内部に含まれていないため、 SはVに適切に埋め込まれません。 しかし、Sは に埋め込まれており、 V内にSの境界圧縮ディスクは存在しないため、 2番目の定義によりSは境界非圧縮です。 ${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle \partial V}$

• 非圧縮表面

• W. Jaco、「3次元多様体トポロジーに関する講義」、CBMS数学地域会議シリーズ第43巻。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1980年。
• T. Kobayashi, Heegaard 分割の同相類が多項式成長を持つ 3 次元多様体の構成, 大阪数学会誌29 (1992), no. 4, 653–674. MR 1192734.