内側三角

ユークリッド幾何学において、三角形 $△$ $ABC$ の中点三角形（または中点三角形）とは、三角形の辺 $AB$ 、 $AC$ 、 $BCの$ 中点を頂点とする三角形のことです。これは、 $n$ 辺の多角形の $n$ $= 3 の$ 場合にあたります。中点三角形は、辺の長さが $△$ $ABC$ の中線と同じである三角形である中央三角形とは異なります。

正中三角形の各辺は、中点連結線（または正中線）と呼ばれます。一般に、三角形の中点連結線とは、三角形の2辺の中点を結ぶ線分です。これは3辺目と平行で、長さは3辺目の長さの半分に等しくなります。

不動産

$M$ ： $△$ $ABC$ の外心、 $△$ $DEF$ の垂心 $N$ ： $△$ $ABC$ の内心、 $△$ $DEF$ のナーゲル点 $S$ ： $△$ $ABC$ と $△$ $DEF$ の重心

$中線三角形は、三角形△ ABCを$ 重心を中心とする比-1/2の相似変換によって変換した像と見なすこともできます。したがって、中線三角形の辺は、 $△$ $ABC$ の対応する辺の半分の長さで平行です。ゆえに、中線三角形は $△$ $ABC$ と反相似であり、同じ重心と中線を共有します。また、このことから、中線三角形の周長は $△$ $ABC$ の半周長に等しく、面積は $△$ $ABC$ の面積の4分の1であることが分かります。さらに、中線三角形によって元の三角形が分割される4つの三角形はすべてSSS 合同であるため、面積は等しく、したがってそれぞれの面積は元の三角形の面積の4分の1になります。^[¹^]^：^p.177

正中三角形の垂心は△ABCの外心と一致する。この $事実$ $は$ 、外心、重心、垂心の共線性を証明するための手段となる。正中三角形は外心の足底三角形である。九点円は正中三角形を外接するため、九点円の中心は正中三角形の外心となる。

中線三角形のナーゲル点は、その基準三角形の内心である。[ 2 ] ^{： p.161 、}^{定理337特に}、これは三角形の内心がその中線三角形内にあることを意味する。^{[ 3 ]}^{： p.233、補題1}

正中三角形の中心は、その基準三角形のスピーカー中心である。

基準三角形の中点三角形は、基準三角形の垂心とその頂点の中点を頂点とする三角形と合同である。^[²^]^：^p.103、^#206、^p.108、^#1

三角形の内部にある点が三角形の内接楕円の中心となるのは、その点が中線三角形の内部にある場合のみである。^{[ 4 ]}^{： p.139}

正中三角形は、他の3つの内接三角形のいずれも面積が小さくない唯一の内接三角形である。 ^{[ 5 ]}^{： p.137}

基準三角形とその中線三角形は直交三角形である。

座標

$三角形△$ $ABC$ の辺の長さを $a = | BC |$ 、 $b = | CA |$ 、 $c = | AB |$ とする。中点三角形 $△$ $EFD$ の頂点の三線座標は次のように与えられる。 ${\begin{array}{ccc}E=&0&:&{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]F=&{\frac {1}{a}}&:&0&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]D=&{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&\,0\end{array}}$

反相補三角形

$△ EFDが$ $△ ABC$ の中線三角形である場合、 $△ ABC$ $は△$ $EFD$ の反補三角形または反中線三角形です。 $△$ $ABC$ の反補三角形は、 $△$ $ABC$ の辺に平行な3本の線、 $すなわちC$ を通る $AB$ に平行な線、 $B$ を通る $AC$ に平行な線、 $A$ を通る $BC$ に平行な線によって形成されます。

三角形の頂点の三線座標 $\triangle E'F'D'$ 相補的ではない $\triangle ABC$ は以下によって与えられます。 ${\begin{array}{crrr}E'=&-{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]F'=&{\frac {1}{a}}&:&-{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]D'=&{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&-{\frac {1}{c}}\end{array}}$

「反補三角形」という名称は、その頂点が基準三角形の頂点 $A$ 、 $B$ 、 $Cの反補三角形であるという事実に対応しています。中線三角形の頂点は、$ $A$ 、 $B$ 、 $C$ の補三角形です。

参考文献

↑ Posamentier, Alfred S.、および Lehmann, Ingmar。『三角形の秘密』、Prometheus Books、2012年。
1 2 Altshiller-Court, Nathan. College Geometry . Dover Publications, 2007.
↑ Franzsen, William N. (2011). "内心からオイラー線までの距離" (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231– 236.
↑ Chakerian, GD「幾何学の歪んだ見方」『 Mathematical Plums 』（R. Honsberger 編）第 7 章。ワシントン DC: アメリカ数学協会、1979 年。
↑ Torrejon, Ricardo M. (2005). "On an Erdos inscribed triangle inequality" . Forum Geometricorum . 5 : 137–141 .

外部リンク

ワイスタイン、エリック W. 「内側の三角形」。マスワールド。
ワイススタイン、エリック W. 「反補三角形」 . MathWorld .

[PL-1] Posamentier, Alfred S.、および Lehmann, Ingmar。『三角形の秘密』、Prometheus Books、2012年。

[ac-2] 1 2 Altshiller-Court, Nathan. College Geometry . Dover Publications, 2007.

[Franzsen-3] Franzsen, William N. (2011). "内心からオイラー線までの距離" (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231– 236.

[Chakerian-4] Chakerian, GD「幾何学の歪んだ見方」『 Mathematical Plums 』（R. Honsberger 編）第 7 章。ワシントン DC: アメリカ数学協会、1979 年。

[Torrejon-5] Torrejon, Ricardo M. (2005). "On an Erdos inscribed triangle inequality" . Forum Geometricorum . 5 : 137–141 .

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： p.161 、

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[ 4 ]

[ 5 ]

不動産

座標

反相補三角形

関連項目

参考文献

外部リンク