マクスウェル方程式の歴史

19世紀前半までに、多くの実験と理論的研究を通じて、電磁気学への理解は深まりました。1780年代には、シャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンが静電気の法則を確立しました。1825年には、アンドレ＝マリー・アンペールが力の法則を発表しました。1831年には、マイケル・ファラデーが実験を通じて電磁誘導を発見し、それを説明する力の線を提案しました。1834年には、エミール・レンツが誘導方向の問題を解決し、フランツ・エルンスト・ノイマンが磁束の変化による誘導力を計算する式を書き記しました。しかし、これらの実験結果と規則は整理されておらず、科学者を混乱させることもありました。電気力学の原理の包括的な概要が必要でした。

この研究は、ジェームズ・C・マクスウェルが1850年代から1870年代にかけて発表した一連の論文を通じて行われました。1850年代、マクスウェルはケンブリッジ大学で研究しており、そこでファラデーの力線の概念に感銘を受けました。ファラデーは、マクスウェルの研究にも影響を与えた物理学者ロジャー・ボスコヴィッチの影響を受けてこの概念を考案しました。 ^[1] 1856年、彼は電磁気学に関する最初の論文「ファラデーの力線について」を発表しました。^[2] 彼は、非圧縮性流体の流れのアナロジーを使用して磁力線をモデル化しようとしました。後に、マクスウェルはキングス・カレッジ・ロンドンに移り、そこでファラデーと実際に定期的に連絡を取り、生涯の友人になりました。1861年から1862年にかけて、マクスウェルは「物理的な力線について」と題した4つの論文を発表しました。^{[3] [4] [5] [6] [7]} これらの論文では、回転する渦管などの機械的モデルを使用して電磁場をモデル化しました。また、ファラデーによって与えられた磁力線の応力を考慮するために、真空を一種の絶縁弾性媒体としてモデル化しました。これらの研究は、すでにマクスウェル方程式の定式化の基礎を築いていました。さらに、1862年の論文では、真空定数に対する電磁波の速度の表現から光速 cを導出していました。マクスウェル方程式の最終的な形は、1865年に出版された「電磁場の動的理論」 ^[8]で、 理論は厳密に数学的な形で定式化されています。1873年、マクスウェルは電磁気学に関する研究の要約として「電気と磁気に関する論文」を出版しました。要約すると、マクスウェル方程式は光と電磁気の理論をうまく統合し、物理学における偉大な統合の1つとなりました。^[9]

マクスウェルは電磁気学の単純なフライホイールモデルを構築し、ボルツマンはマクスウェルのフライホイールモデルに基づいて精巧な機械モデル（「バイサイケル」）を構築し、講義のデモンストレーションに使用しました。^[10]図はボルツマンの1891年の本の最後にあります。^[11]

その後、オリバー・ヘヴィサイドはマクスウェルの『電気と磁気の論文』を研究し、ベクトル計算を用いてマクスウェルの20を超える方程式を現代の物理学者が使用する4つの方程式に統合しました。マクスウェルの方程式は、アルバート・アインシュタインが特殊相対性理論を発展させるきっかけにもなりました。^[13]

マクスウェル方程式の実験的証明は、 1890年代にハインリッヒ・ヘルツによる一連の実験で実証されました。^[14] その後、マクスウェル方程式は科学者に完全に受け入れられました。

電気、磁気、光の速度の関係は、次の現代の方程式で要約できます。

${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}\ .}$

左辺は光の速度で、右辺は電気と磁気を支配する方程式に現れる定数に関連する量です。右辺には速度の単位がありますが、これは物理的な速度を伴わない電気力と磁気力の測定から推測できます。したがって、この関係を確立することで、光が電磁気現象であるという説得力のある証拠が得られました。

この関係の発見は、1855年にヴィルヘルム・エドゥアルト・ウェーバーとルドルフ・コールラウシュが、電気と磁気に関連する量、「絶対的な電磁電荷単位と絶対的な静電電荷単位の比」（現代の言葉で言えば値）があると判断し、速度の単位を持つべきであると決定したときに始まりました。その後、彼らはライデン瓶を充電および放電し、放電電流から磁力を測定する実験によってこの比率を測定し、値を発見しました。${\displaystyle 1/{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$3.107 × 10 ⁸  m/s ^[15]は、最近測定された光速に驚くほど近い。1848年にイポリット・フィゾーが3.14 × 10 ⁸  m/sと発表し、 1850年にレオン・フーコーによって2.98 × 10 ⁸ m/s^{と報告された。 [15]}しかし、ウェーバーとコールラウシュは光速との関連には触れなかった。^[15] 1861年末、マクスウェルは論文『物理的な力の線について』の第3部に取り組んでいる間、スコットランドからロンドンに旅行し、ウェーバーとコールラウシュの結果を確認した。彼はそれを自身の論文と互換性のある形式に変換し、そうすることで光速との関連を確立し、光は電磁放射の一種であると結論付けた。^[16]

4 つの現代のマクスウェル方程式は、マイケル ファラデーの「力線」の分子渦モデルを使用して理論的に導き出された 1861 年の論文のいたるところに見受けられます。ウェーバーとコールラウシュの実験結果と併せて導き出されたものです。しかし、ジョサイア ウィラード ギブスとハインリッヒ ヘルツによる同様の研究と並行して、オリバー ヘヴィサイドが 1884 年になって初めて、ベクトル表記法を使用して 20 の方程式を 4 つの方程式にまとめました。^[17]この 4 つの方程式のグループは、ヘルツ - ヘヴィサイド方程式やマクスウェル - ヘルツ方程式などさまざまな名前で知られていましたが、現在ではマクスウェル方程式として広く知られています。^[18]教科書や大学でマクスウェル方程式として教えられているヘヴィサイド方程式は、マクスウェルの方程式とまったく同じではなく、実際、後者の方が量子物理学に適合させやすいのです。^[19]

この非常に微妙で矛盾しているように聞こえる状況は、ニュートンの運動の第二法則に関して存在する同様の状況の観点から見ると、おそらく最も簡単に理解できるでしょう。教科書や教室では、この法則はニュートンに帰せられますが、ニュートンは実際に、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジのレン図書館のガラスケースの中に、運動量の第二法則をはっきりと見ることができます。ここでは、ニュートンの原稿の関連ページが開かれています。 として、ここで は運動量の時間微分です。これは、特殊相対性理論でも修正なしで 真であることに気付くまでは、十分に些細な事実のように思えます。${\displaystyle F=ma}$${\displaystyle F={\dot {p}}}$${\displaystyle F={\dot {p}}}$${\displaystyle {\dot {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F={\dot {p}}}$

これらの方程式を導き出したマクスウェルの科学への貢献は、1861 年の論文「物理的な力線について」でアンペールの回路法則に修正を加えたことにある。彼はアンペールの回路法則に変位電流項を追加し、これにより1865 年の後の論文「電磁場の動的理論」で電磁波方程式を導き出し、光が電磁波であるという事実を実証することができた。この事実は、1887 年にハインリヒ・ヘルツによって実験的に確認された。物理学者リチャード・ファインマンは、「人類の歴史を長い目で見れば、今から 1 万年後に見れば、19 世紀で最も重要な出来事はマクスウェルの電磁力学の法則の発見であると判断されることにほとんど疑いの余地はない。同じ 10 年間のこの重要な科学的出来事と比較すると、アメリカ南北戦争は地方レベルの取るに足らないものになるだろう」と予言した。^[20]

場の概念は、ファラデーらによって導入されました。アルバート・アインシュタインは次のように書いています。

時空法則の正確な定式化はマクスウェルの功績です。彼が定式化した微分方程式によって、電磁場が偏光波として光速で広がることが証明されたときの彼の気持ちを想像してみてください。このような経験をした人は世界でもほんのわずかです。物理学者がマクスウェルの発見の意義を完全に理解するには数十年かかりました。彼の天才が同僚の概念に強いた飛躍はあまりにも大胆だったからです。

— アインシュタイン（サイエンス、1940年5月24日）

ヘヴィサイドは、マクスウェルが方程式の中心概念として用いたポテンシャル（電位と磁気ポテンシャル）を排除しようと努めた。 ^[21]この取り組みは多少物議を醸したが、^[22] 1884年までに、当時の重力ポテンシャルの概念のような瞬間的な遠隔作用の概念とは異なり、ポテンシャルは場のように光速で伝播しなければならないことが理解された。^[23]

今日私たちが使用している 4 つの方程式は、マクスウェルの 1861 年の論文「物理的な力の線について」に個別に記載されています。

1. マクスウェルの1861年の論文の式(56)は磁気に関するガウスの法則、∇• B = 0である。
2. 式 (112) は、アンペールの回路法則にマクスウェルが変位電流を加えたものである。これはマクスウェルの研究の中で最も注目すべき貢献である可能性があり、これにより彼は1865 年の論文「電磁場の動的理論」で電磁波方程式を導き、光が電磁波であることを示すことができた。これにより、彼が解明した現象の性質を理解する上で、方程式の重要性が十分に高まった。(キルヒホッフは1857 年に変位電流を使用せずに電信方程式を導き出したが、変位電流の数学的要素であるポアソン方程式と連続の方程式は使用した。しかし、キルヒホッフは自分の方程式が電線の内部でのみ適用できると信じていたため、光が電磁波であることの発見は彼の功績ではない。)
3. 式(115)はガウスの法則である。
4. 式(54)はオリバー・ヘヴィサイドが「ファラデーの法則」と呼んだものを表現している。これは電磁誘導の時間変化の側面を扱っているが、運動によって誘導される側面は扱っていない。ファラデーの元々の磁束法則は両方を説明していた。^{[24] [25]}マクスウェルは式(77)で電磁誘導の運動関連の側面v × Bを扱っているが、これは以下に挙げるマクスウェルの元々の方程式の式(D)と同じである。これは今日では力の法則方程式F = q ( E + v × B )として表現され、マクスウェル方程式の隣にあり、マクスウェルがまだローレンツが少年だった頃に導き出したにもかかわらず、ローレンツ力という名前が付けられている。

BベクトルとHベクトルの違いは、 1855 年にケンブリッジ哲学協会で発表されたマクスウェルの論文「ファラデーの力線について」にまで遡ることができます。この論文では、ファラデーの研究の簡略化されたモデルと、2 つの現象の関係が提示されました。彼は、当時の知識のすべてを、一連の微分方程式にまとめました。

これは後に、1861年の論文「物理的な力線について」に登場する分子渦の海の概念で明らかにされました。その文脈では、Hは純粋な渦度（スピン）を表し、Bは渦の海の密度に重み付けされた重み付き渦度でした。マクスウェルは、透磁率 µを渦の海の密度の尺度と見なしました。したがって、関係は次のようになります。

1. 磁気誘導電流は、磁気電流密度B = μ Hを引き起こし、本質的には線形電流関係の回転類似性であった。
2. 電気対流 J = ρ vであり、ρは電荷密度です。Bは、軸平面に整列した渦の一種の磁流と見なされ、Hは渦の周方向の速度です。µ は渦密度を表し、 µと渦度Hの積は、Bで表される磁場につながります。

電流方程式は、直線運動を伴う電荷の対流電流として考えることができます。類推すると、磁気方程式はスピンを伴う誘導電流です。誘導電流には、Bベクトルの方向に沿った直線運動はありません。磁気誘導電流は力の線を表します。特に、反比例法則の力の線を表します。

上記の考察を拡張すると、 BがHに対して、Jがρに対して、ガウスの法則と電荷連続の式から、E がDに対して、つまりB はEと平行であり、H はDと平行であることが必然的に導かれることが確認できます。

1865年、マクスウェルは「電磁場の力学理論」を発表し、光が電磁気現象であることを示した。「マクスウェル方程式」という用語が、マクスウェルの1865年の論文「電磁場の力学理論」の第3部「電磁場の一般方程式」に登場した8つの方程式を指すために使われたことから、混乱が生じることがある^[26]。この混乱は、8つの方程式のうち6つが3つの別々の方程式（直交座標軸ごとに1つずつ）として書かれ、その結果、方程式が20個、未知数が20個になったことでさらに悪化している。^[a]

8 つの元のマクスウェル方程式は、次のようにヘヴィサイドのベクトル表記の現代的な形式で記述できます。

表記

Hは磁化場であり、マクスウェルはこれを磁気強度と呼んだ。

Jは電流密度（ J _totは変位電流を含む全電流）。 ^[b]

D は変位場（マクスウェルは電気変位と呼ぶ）です

ρ は自由電荷密度（マクスウェルによって自由電気量と呼ばれる）です

A は磁気ポテンシャル（マクスウェルによって角インパルスと呼ばれる）です。

E はマクスウェルによって起電力と呼ばれています。起電力という用語は現在では電圧に対して使用されていますが、文脈から、マクスウェルの意味は現代の用語である電界に一致していたことは明らかです。

ϕ は電位です（マクスウェルは電位とも呼びました）。

σは電気伝導率です(マクスウェルは伝導率の逆数を比抵抗と呼び、現在では抵抗率と呼ばれています)。

μv × H項を含む 式 [ D ]は、1861年の論文の式(77)と同様に、実質的にローレンツ力である（上記参照） 。

マクスウェルは 1865 年の論文で電磁波方程式を導出する際に、 現代の教科書で使用されているファラデーの電磁誘導の法則ではなく、方程式[ D ] を使用して電磁誘導を考慮しました。(ファラデーの法則自体は彼の方程式には登場しません。) ただし、マクスウェルは電磁波方程式を導出する際に、静止フレームからのみ状況を考慮しているため、方程式 [ D ] から μ v × Hの項を削除しています。

英語版ウィキソースには、この記事に関連する原文があります:

「電気と磁気に関する論文」

ジェームズ・クラーク・マクスウェルが1873年に書いた電磁気学の論文「電気と磁気の論文」には、電磁場の一般的な方程式が12個挙げられており、これには1865年の論文に記載されている8つが含まれています。^[27]彼の電磁場の理論的研究は、仕事、エネルギー、ポテンシャル、エネルギー保存の原理、ラグランジュ力学の概念によって導かれました。マクスウェルの電磁気理論に関するすべての主要な方程式は、第IV部の第IX章で要約されています。この章の最後に、すべての方程式がリストされ、四元数の形式で設定されています。最初の2つの方程式[ A ]と[ B ]は、電気スカラーポテンシャルと磁気ベクトルポテンシャルを電場と磁場に関連付けます。3番目の方程式[ C ]は、電磁場を電磁力に関連付けます。残りの方程式[ D ]から[ L ]は、電磁場を物質データ、つまり電流と電荷密度、および物質媒体に関連付けます。

ここでは、マクスウェルが使用したオリジナルの表記法を尊重して、12 個のマクスウェル方程式が示されています。唯一の違いは、ベクトルがオリジナルのフラクトゥール書体ではなく太字書体で表記されていることです。比較のために、マクスウェル方程式をオリジナルの四元数形式とベクトル形式で示しています。四元数積 のスカラー部分とベクトル部分を表すために、と の表記法が使用されています。 ${\displaystyle S.}$${\displaystyle V.}$

馴染みのない表記

G は点の速度です。

C は総電流です。

Jは磁化の強さです。

K は伝導電流です。

Ψは電位です。

Ωは磁気ポテンシャルです。

Kは誘電率です。

Cは電気伝導率です。

e は電荷密度です。

mは磁荷密度です。

同じ章で、マクスウェルは、方程式[ A ]の結果は (ベクトル表記で) であると指摘しています。同様に、方程式[ E ]の発散をとると 電荷保存則 が得られますが、これは全電流に電気変位の変化が含まれる場合にのみ成り立つとマクスウェルは指摘しています。最後に、方程式 [ A ]と方程式 [ E ]を組み合わせると、磁気ポテンシャルと電流を関連付ける式が得られます。本書の第 1 部のその他の箇所では、運動がない場合と同様に、電位は電荷密度と関連付けられています。マクスウェルは先見の明を持って、方程式のいくつかを組み合わせていくつかの量を除去できるとしても、彼のリストの目的は数式を簡潔にすることではなく、知られているすべての関係を表現することであると述べています。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {C} =0}$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =4\pi \mu \mathbf {C} }$${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-{\frac {4\pi }{K}}e}$

マクスウェル方程式は特殊相対性理論の発展に不可欠なインスピレーションとなった。おそらく最も重要な点は、遠隔地での瞬間的な作用を否定したことである。むしろ、マクスウェル方程式によれば、力は電磁場を通じて光速で伝播する。^{[28] : 189}

マクスウェルの元の方程式は、光が「光伝導エーテル」として知られる分子渦の海を通過し、光の速度はこのエーテルの基準フレームと関係しているという考えに基づいています。しかし、エーテルを通過する地球の速度を測定するために設計された測定は、この概念と矛盾していました。^[c]

より理論的なアプローチは、ジョージ・フィッツジェラルドとジョセフ・ラーモアとともにヘンドリック・ローレンツによって提案されました。ラーモア (1897) とローレンツ (1899、1904) はどちらもエーテルの運動を無視し、マクスウェル方程式が不変となるローレンツ変換(アンリ・ポアンカレによって命名) を導きました。ポアンカレ (1900) は光信号を交換することで動く時計の調整を分析しました。彼はまた、ローレンツ変換の数学的群特性を確立しました (ポアンカレ 1905)。この変換はフィッツジェラルド・ローレンツ変換、またはフィッツジェラルド・ローレンツ・アインシュタイン変換と呼ばれることもあります。

アルバート・アインシュタインもエーテルの概念を否定し、観測者の速度とは無関係に光速は一定であるというローレンツの結論に依拠した。彼はフィッツジェラルド・ローレンツ変換をマクスウェル方程式だけでなく運動学にも適用した。マクスウェル方程式は、アインシュタインの1905年の画期的な特殊相対性理論に関する科学論文で重要な役割を果たした。例えば、論文の冒頭の段落で、彼は理論の冒頭で、磁石に対して運動する導体の記述は、力が磁石の静止系で計算されるか導体の静止系で計算されるかに関係なく、一貫した一連の場を生成しなければならないと述べている。^[29]

一般相対性理論もマクスウェル方程式と密接な関係があります。たとえば、1920年代にテオドール・カルツァとオスカー・クラインは、 一般相対性理論を5つの物理的次元に拡張することでマクスウェル方程式を導くことができることを示しました。異なる力を統合するために追加の次元を使用するというこの戦略は、物理学において現在も活発に研究されている分野です。

• 古典電磁気学と特殊相対性理論
• 電磁気理論の歴史
• マクスウェル家

• Turnbull, Graham 編 (2019 年 10 月 29 日)。「マクスウェル方程式」。工学技術史 Wiki。