電磁場の動力学的理論

「電磁場の動力学的理論」は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルによる電磁気学に関する論文で、1865年に発表された。^{[ 1 ]}物理学者のフリーマン・ダイソンはこの論文の発表を「物理科学の歴史における19世紀の最も重要な出来事」と呼んだ。^{[ 2 ]}

この論文は、電磁気学の古典理論を確立する上で重要な役割を果たした。^{[ 3 ]}マクスウェルは、実験で測定された値とよく一致する光の速度を持つ電磁波方程式を導き出し、光が電磁波であることを推論した。

当時の標準的な手順に従い、この論文は1864年10月27日にマックスウェルから王立協会に送られ、同年12月8日に王立協会で初めて朗読された。その後、査読を受け、 1864年12月24日にウィリアム・トムソン（後のケルビン卿）に送られた。^{[ 4 ]}その後、1865年3月23日に協会の物理科学担当秘書であるジョージ・ガブリエル・ストークスに送られた。1865年6月15日、論文委員会（実質的には協会の運営評議会）によって王立協会の『Philosophical Transactions』への掲載が承認され、翌日（6月16日）に印刷所に送られた。この時期、『Philosophical Transactions』は年に一度製本された巻としてのみ発行され、^{[ 5 ]} 11月30日の協会の記念日に合わせて準備されていたと思われる（正確な日付は記録されていない）。しかし、印刷業者は6月16日直後に、著者が自由に配布できるよう、別刷りを準備してマックスウェルに届けたはずだ。

論文の第 3 部「電磁場の一般方程式」では、マクスウェルは 20 個の方程式を定式化しました^{[ 1 ]。}これらは後にマクスウェル方程式として知られるようになりますが、この用語は、1884 年に選択された 4 つのベクトル化された方程式のセットに適用されるようになりました。これらの方程式はすべて、彼の 1861 年の論文「物理的な力線について」に掲載されていました^{[ 6 ] 。}

ヘヴィサイドのマクスウェル方程式のバージョンは、現代のベクトル表記で書かれているという点で独特である。実際には、元の8つの方程式のうちの1つ、つまり方程式「G」（ガウスの法則）しか含まれていない。ヘヴィサイドの4つの方程式のうちのもう1つは、マクスウェルの全電流の法則（方程式「A」）とアンペールの周回法則（方程式「C」）を組み合わせたものである。この組み合わせは、マクスウェル自身が「力の物理的な線について」の方程式（112）で最初に行ったものであり、アンペールの周回法則を修正してマクスウェルの変位電流を含めるものである。^{[ 6 ]}

ヘヴィサイド方程式

マクスウェルの20個の元の方程式のうち18個は、以下の(A)から(F)とラベル付けされた6つの方程式にベクトル化でき、それぞれが成分形式で表された3つの元の方程式のグループを表しています。マクスウェルの成分方程式の19番目と20番目は、以下の(G)と(H)として現れ、合計8つのベクトル方程式になります。これらは、マクスウェルが1865年の論文で割り当てた文字で指定され、マクスウェルの元の順序で以下にリストされています。^{[ 7 ]}

（A）全電流の法則

${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}=}$${\displaystyle \,\mathbf {J} }$${\displaystyle +\,{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

（B）磁気ポテンシャルの定義

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$

（C）アンペールの周回法則

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\rm {tot}}}$

（D）ローレンツ力とファラデーの電磁誘導の法則

${\displaystyle \mathbf {f} =\mu (\mathbf {v} \times \mathbf {H} )-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$

（E）電気弾性方程式

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\varepsilon }}\mathbf {D} }$

（F）オームの法則

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$

（G）ガウスの法則

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$

（H）電荷連続方程式

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,}$。

表記法

${\displaystyle \mathbf {H} }$は磁場であり、マクスウェルはこれを「磁気強度」と呼んだ。

${\displaystyle \mathbf {J} }$は電流密度（${\displaystyle \mathbf {J} _{\rm {tot}}}$（変位電流を含む全電流密度）。

${\displaystyle \mathbf {D} }$は変位場（マクスウェルは「電気変位」と呼んだ）である。

${\displaystyle \rho }$は自由電荷密度（マクスウェルはこれを「自由電気量」と呼んだ）である。

${\displaystyle \mathbf {A} }$は磁気ポテンシャル（マクスウェルはこれを「角運動量」と呼んだ）である。

${\displaystyle \mathbf {f} }$は単位電荷あたりの力（マクスウェルはこれを「起電力」と呼んだが、現在起電力と呼ばれているスカラー量と混同してはならない。下記参照）である。

${\displaystyle \phi }$電位（マクスウェルも「電位」と呼んだ）のことである。

${\displaystyle \sigma }$は電気伝導率です（マクスウェルは伝導率の逆数を「比抵抗」と呼び、これは現在では抵抗率と呼ばれています）。

${\displaystyle \nabla }$はベクトル演算子delです。

説明

マクスウェルは完全に一般的な材料については考慮していなかった。彼の最初の定式化では、誘電率εと透磁率μを持つ線形、等方性、非分散性の媒体を使用していたが、異方性材料の可能性についても議論していた。

磁気に関するガウスの法則（∇⋅ B = 0）は上記のリストには含まれていませんが、発散を取ることによって式（B）から直接導かれます（回転の発散はゼロであるため）。 

(A)を(C)に代入すると、マクスウェル・アンペールの法則のよく知られた微分形式が得られる。

式（D）には、ローレンツ力法則とファラデーの誘導法則の微分形式が暗黙のうちに含まれている。静磁場の場合、${\displaystyle \partial \mathbf {A} /\partial t}$が消滅し、電場E は保存的になり、 −∇ ϕで与えられるので、(D)は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,}$。

これは単に単位電荷あたりのローレンツ力法則です。ただし、マクスウェル方程式（D）は、ローレンツが力法則を導出する34年前の1861年に「物理的な力線について」^{[ 6 ]}の式（77 ）に初めて登場しました。現在では、この力法則は4つの「マクスウェル方程式」の補足として提示されるのが通例です。ローレンツ力法則の交差項は、発電機におけるいわゆる運動起電力の源です（ 「動く磁石と導体の問題」も参照）。変圧器のように磁場を通過する運動がない場合、交差項を省略することができ、単位電荷あたりの力（fと呼ばれる）は電場Eに簡略化されるため、マクスウェル方程式（D）は次のように簡略化されます。   

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi \,}$。

回転を取り、勾配の回転はゼロであることに注意すると、

$\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \,=\,-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,=\,-{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}\nabla \times \mathbf {A} {\big )}\,=\,-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,}$

これはファラデーの法則の微分形式です。したがって、式（D）の右辺の3つの項は、左から右へ、運動項、変圧器項、保存項として記述できます。 

電磁波方程式を導出する際、マクスウェルは媒質の静止系からの状況のみを考慮し、それに伴い外積項を省略している。しかし、彼は依然として方程式（D）に基づいて計算を進めており、ファラデーの法則に基づいて計算を進める現代の教科書とは対照的である（下記参照）。 

構成方程式 （E）と（F）は、通常、媒質の静止系でD = ϵ EおよびJ = σ Eと記述されます。

1865 年の論文に掲載されたマックスウェルの方程式(G)では、 eは電荷密度のマイナスを意味する必要がある ( f、g、h がDの成分である場合) の一方、方程式(H)では、 eは電荷密度のプラスを意味する必要がある( p、q、rがJの成分である場合)。ジョンW.アーサー^{[ 8 ] : 7、8は}、(G)のeの符号が間違っていると結論付け、この符号はマックスウェルのその後の論文で修正されていることを指摘している^{[ 8 ] : 8 。 [ 9 ]}アーサーは、符号の混乱は、運動量と磁気ベクトルポテンシャル (マックスウェルの「電磁運動量」) の類似性から生じた可能性があると推測している。この類似性では、正の質量が負の電荷に対応する^{[ 8 ] : 4}。アーサー^{[ 8 ]： 3は、マックスウェルの1861-2年の以前の論文[ 6 ]}からの対応する方程式もいくつか挙げており、符号が必ずしも後のものと一致するとは限らないと指摘している。以前の符号（1861-2）は、F、G、Hが-Aの成分であり、f、g、hが-Dの成分である場合に正しい。     

「電磁場の動力学的理論」^{[ 1 ]}の第VI部、 「光の電磁理論」^{[ 10 ]の副題において、マクスウェルは、1862年の論文「物理的な力線について」 [ 6 ]}の第III部で行われたアンペールの周回法則の修正（変位電流として定義される）を使用して、電磁波方程式を導出している。

彼は、光速の実験的測定値とほぼ一致する速度を持つ波動方程式を得た。彼は次のようにコメントした。

これらの結果の一致は、光と磁気が同じ物質の現象であり、光は電磁気法則に従って場を伝播する電磁的な擾乱であることを示しているように思われる。

マクスウェルによる電磁波方程式の導出は、現代物理学では、アンペールの周回積分法則の修正版とファラデーの電磁誘導法則を組み合わせた、はるかに簡便な方法に取って代わられている。

この論文とマックスウェルの関連研究について、同僚の物理学者リチャード・ファインマンは次のように述べている。「人類の歴史を長い目で見れば、例えば今から1万年後から見れば、19世紀で最も重要な出来事はマックスウェルによる電磁気の法則の発見であると判断されることに疑いの余地はないだろう。」^{[ 11 ]}

アルバート・アインシュタインは、 1905年のアインシュタインの「奇跡の年」論文の一つである「運動する物体の電気力学」の中で発表した特殊相対性理論の出発点として、マクスウェル方程式を用いました。その中で次のように述べられています。

力学方程式が成り立つすべての参照系において、電気力学と光学の同じ法則が適用される。

そして

光線は、静止した物体から放出されたものであろうと、運動している物体から放出されたものであろうと、「静止」座標系内では一定の速度cで移動​​する。

マクスウェル方程式は、一般相対性理論を5次元に拡張することによっても導出できる。

• 電気と磁気に関する論文
• ゲージ理論

• マクスウェル、ジェームズ・C.、トーランス、トーマス・F.（1996年3月）。電磁場の動力学的理論。オレゴン州ユージーン：ウィップフ・アンド・ストック。ISBN 1-57910-015-5。
• Niven, WD (1952).ジェームズ・クラーク・マクスウェルの科学論文集第1巻 ニューヨーク：ドーバー出版。
• ジョンソン、ケビン（2002年5月）。「電磁場」。ジェームズ・クラーク・マクスウェル – 偉大なる未知。 2008年9月15日のオリジナルからアーカイブ。2009年9月7日取得。
• ダリゴル、オリヴィエ（2000）。電磁気学：アンペールからアインシュタインまで。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0198505945
• カッツ、ランディ・H.（1997年2月22日）。「見て、ママ、電線がないよ」：マルコーニとラジオの発明」。通信インフラの歴史。 2009年9月7日取得。