二重群

数学、特に高次元代数学とホモトピー理論において、二重群は群と圏の概念を高次元に一般化します。

二重群 Dは、「水平」および「垂直」の両方の群構造の関係を含む高次元群です。^[1]（二重群は、特定の高次元グループの一般化と見なすこともできます。^[2]）正方形の幾何学とその構成により、次の図のような二重群の一般的な表現が生まれます。

ここで、Mは「点」の集合、HとVはそれぞれ「水平」と「垂直」の群体、S は2 つの構成を持つ「正方形」の集合です。二重群体Dの合成法則により、群体のカテゴリの内部の群体としても記述できます。

集合M上の2つの群HとVが与えられたとき、 HとVを水平および垂直の辺群とし、四重項群で与えられる正方形を持つ 二重群が存在する。${\displaystyle \Box (H,V)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}}$

ここで、 h、h′ はHにあり、 v、v′ はVにあり、これらの辺の始点と終点は表記が示すようにM内で一致すると常に仮定します。つまり、たとえば sh = sv、th = sv'、... などです。合成はH、Vの合成から継承されます。つまり、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{1}{\begin{pmatrix}&h'&\\[-0.9ex]w&&w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]vw&&v'w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{2}{\begin{pmatrix}&k&\\[-0.9ex]v'&&v''\\[-0.9ex]&k'&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&hk&\\[ -0.9ex]v&&v''\\[-0.9ex]&h'k'&\end{pmatrix}}}$

この構成は、上記のように二重群を取る忘却関手、すなわちM上の群のペアH,Vの右随伴です。

他の関連する構成としては、接続を持つ二重群体^[3]やホモトピー二重群体^[4]がある。一対の尖った空間のホモトピー二重群体は、2次元のザイフェルト・ファン・カンペン定理の証明の重要な要素であり、1978年にブラウンとヒギンズによって初めて証明され、^[5]その本の中で広範囲に扱われている。^[6]

交差したモジュール、または同等の群の射のデータを 考慮することで、簡単な例のクラスを作成することができます。

${\displaystyle [G_{1}\xrightarrow {\phi } G_{0}]}$

これは、群のカテゴリの内部の群体と同等の記述を持つ。

${\displaystyle s,t:G_{0}\times G_{1}\to G_{0}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{matrix}s(g_{0},g_{1})=g_{0}&t(g_{0},g_{1})=\phi (g_{1})g_{0}\end{matrix}}}$

は、この群の構造射である。群は群の圏に埋め込まれ、単一のオブジェクトを持つ圏に群を送り、射は群を与えるので、上記の構造は二重群を与える。明示的な例を挙げよう。群の拡大から${\displaystyle G}$${\displaystyle {\textbf {B}}G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 1}$

の埋め込みでは、群の2項複体から関連する二重群が存在する。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}}$

${\displaystyle Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}}$

核は で、コカーネルは で与えられる。これは、関連するホモトピー型^[7]を与え、${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)=\mathbb {Z} _{2}}$そして${\displaystyle \pi _{2}(X)=\mathbb {Z} _{4}}$

そのポストニコフ不変量は、群コホモロジー群の の類によって決定できます。これは自明な交差加群ではないため、そのポストニコフ不変量は となり、単体アーベル群の幾何学的実現と同等ではないホモトピー型を与えます。 ${\displaystyle Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}}$${\displaystyle H^{3}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle 1}$

基点集合上の基本群の次元 2 への一般化は、1978 年に Brown と Higgins によって次のように与えられました。 を3 つの空間、すなわち とします。を、辺をAに、頂点をCに取る正方形のXへの写像の頂点に対するホモトピー類の集合と定義します。このような正方形の 2 方向の自然な合成がこれらのホモトピー類に継承されて二重群が得られることを証明するのは、まったく自明ではありません。二重群には、二重群における可換立方体の概念を議論するために必要な、いわゆる接続の追加構造もあります。この二重群は、交差モジュールの一部として第 2 相対ホモトピー群に関する新しい情報と計算を与える、2 次元の Seifert-van Kampen 定理を証明するために本質的に使用されます。詳細については、以下に示す Brown、Higgins、Sivera の著書のパート I を参照してください。 ${\displaystyle (X,A,C)}$${\displaystyle C\subseteq A\subseteq X}$${\displaystyle \rho (X,A,C)}$

オブジェクトが二重群であり、射が二重群準同型で二重群図( D )関数であるカテゴリは、二重群カテゴリ、または二重群のカテゴリと呼ばれます。

• 2グループ
• 交差モジュール
• Nグループ（圏論）
• ∞-群

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