ハートッグスの拡張定理

多変数関数の理論において、ハートッグスの拡大定理は多変数正則関数の特異点に関する定理である。非公式には、そのような関数の特異点のサポートはコンパクトではあり得ないため、多変数関数の特異点集合は（大まかに言えば）ある方向に「無限大に伸びる」必要があることを述べている。より正確には、孤立した特異点は、 $n$ $> 1$ の複素変数の任意の解析関数に対して常に除去可能な特異点であることを示す。この定理の最初のバージョンは、フリードリヒ・ハートッグスによって証明され、^[1]ハートッグスの補題やハートッグスの原理としても知られている。初期のソビエト文献では、^{[2]アーサー・バートン・ブラウンとウィリアム・フォッグ}・オスグッドによる後の研究を認めて、オスグッド・ブラウン定理とも呼ばれている。^[3]多変数正則関数のこの性質はハートッグスの現象とも呼ばれる。しかし、「ハートッグスの現象」という表現は、ハートッグス型の定理を満たす偏微分方程式や畳み込み方程式の解の性質を識別するためにも使用される。^[4]

歴史的注記

最初の証明は、1906年にフリードリヒ・ハルトッグスによって、多変数の複素関数に対するコーシーの積分公式を使って与えられました。^[1]今日、通常の証明は、ボフナー・マルティネリ・コッペルマンの公式か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマン方程式の解に依存しています。後者のアプローチは、論文 (Ehrenpreis 1961) でそれを始めたレオン・エーレンプライスによるものです。この結果のさらに別の非常に単純な証明は、ガエターノ・フィチェラによって論文 (Fichera 1957) で与えられました。これは、多変数の正則関数に対するディリクレ問題の解と、関連する CR 関数の概念を使用しました。^[5]後に彼は論文 (Fichera 1983) で定理を特定のクラスの偏微分演算子に拡張し、彼のアイデアは後にジュリアーノ・ブラッティによってさらに探求されました。^[6]また、偏微分作用素の理論の日本の学派もこのテーマに多くの研究を行っており、金子明の貢献は顕著である。^{[7]彼らのアプローチは、}エーレンプライスの基本原理を利用するものである。

ハートッグスの現象

例えば、2つの変数の内部領域を考える。

H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or} }\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}

2次元多面体では $\Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}$ $0<\varepsilon <1.$

定理ハートッグス（1906年）:上の任意の正則関数は解析的にに接続できる。つまり、上の正則関数が存在し、上で $f$ $H_{\varepsilon }$ $\Delta ^{2}.$ $F$ $\Delta ^{2}$ $F=f$ $H_{\varepsilon }.$

このような現象はハートッグスの現象と呼ばれ、このハートッグスの拡大定理と正則性の定義域の概念につながります。

正式な声明と証明

f を

集合

G

\

K

上の正則関数とする。ここで

Gは

C

n

(

n

\geq 2

)の開集合であり、

K は

G

のコンパクト部分集合である。補集合

G

\

K

が連結であれば、

f は

G

上の唯一の正則関数

F

に拡張できる。^[8]

エーレンプライスの証明は、滑らかなバンプ関数の存在、正則関数の一意接続、およびポアンカレの補題に基づいています。ポアンカレの補題は、 $\partial$ $ω$ $= 0$ である $C$ $n$ 上の任意の滑らかでコンパクトに支えられた微分 (0,1) 形式 $ωに対して、$ $\partial$ $η$ $=$ $ω$ である $C$ $n$ 上の滑らかでコンパクトに支えられた関数 $η が存在するというものです。このポアンカレの補題の妥当性には、$ $n$ $\geq 2$ という重要な仮定が必要です。n = 1 の場合 $、$ $η$ $が$ コンパクトに支えられることは一般に不可能です。^[9]

$F$ の仮定は、 $G$ 上の滑らかな関数 $φ$ と $vに対して$ $φ f - v$ です。このような表現は、 $f$ が未定義の場合（つまり $K上）、$ $φ$ が常にゼロに等しいという条件で意味を持ちます。さらに、ある開集合上の $f$ に等しい $G$ 上の任意の正則関数が与えられた場合、一意の接続（ $G$ $\$ $Kの連結性に基づく）により、それが$ $G$ $\$ $K$ のすべて上で $f$ に等しいことが示されます。

この関数の正則性は、条件 $\partial v = f \partial φ$ と同一である。任意の滑らかな関数 $φ$ に対して、微分 (0,1) 形式 $f \partial φは$ $\partial$ 閉である。 $φ を、$ $K上で恒常的にゼロに等しく、$ $G$ のあるコンパクトな部分集合 $L$ の補集合上で恒常的に 1 に等しい滑らかな関数として選択すると、この (0,1) 形式はさらにコンパクトな台を持つため、ポアンカレの補題はコンパクトな台の適切な $v$ を識別する。これは、 $F を$ $G$ 上の正則関数として定義します。残っているのは、（上記のコメントに従って）それが何らかの開集合上の $fと一致することを示すことだけです。$

集合 $C n \ L$ 上では、 $φ$ が恒等定数であるため、 $v は$ 正則である。 v は無限大の近くでゼロであるため、一意接続を適用して、 $G$ $\$ $L$ の何らかの開集合上で v が恒等ゼロであることを示すことができる。^[10]したがって、この開集合上では、 $F は$ $f$ に等しく、ハートッグの定理の存在部分が証明される。一意性は、 $G$ の連結性に基づいて、一意接続から自動的に得られる。

次元1における反例

$この定理はn = 1$ の場合には成り立ちません。これを理解するには、関数 $f (z) = z -1を考えれば十分です。これは$ $C \ {0}$ では明らかに正則ですが、 $C$ 全体では正則関数として継続することはできません。したがって、ハートッグスの現象は、1 変数関数と複数変数関数の理論の違いを浮き彫りにする基本的な現象です。

注記

^ ab Hartogs (1906) の原著論文と、Osgood (1966, pp. 56–59)、Severi (1958, pp. 111–115)、Struppa (1988, pp. 132–134) によるさまざまな歴史的調査におけるその説明を参照してください。特に、この最後の 132 ページの参考文献で、著者は明示的に次のように書いています。「(Hartogs 1906) のタイトルで指摘されているように、また読者がすぐに理解するように、証明の重要なツールはコーシーの積分公式です。」
^ 例えば、ウラジミロフ (1966、p. 153) では、証明についてはフックス (1963、p. 284) の本を参照するよう読者に勧めている (ただし、前者の参考文献では、証明は 324 ページにあると誤って述べられている)。
^ Brown (1936)およびOsgood (1929)を参照。
^ Fichera (1983) および Bratti (1986a) (Bratti 1986b) を参照。
^ フィチェラの証明と彼の画期的な論文 (Fichera 1957) は、複素変数関数の理論の多くの専門家によって見落とされてきたようです。この分野の多くの重要な定理の正しい帰属については、Range (2002) を参照してください。
^ Bratti (1986a) (Bratti 1986b)を参照。
^ 彼の論文（金子 1973）とその中の参考文献を参照。
^ ヘルマンダー、1990 年、定理 2.3.2。
^ ヘルマンダー1990、30ページ。
^ $C$ $n$ $\$ $L$ の任意の連結成分は、空でない開集合で $G$ $\$ $L$ と交差する必要があります。空でないことを確認するには、 $C$ $n$ $\$ $L$ の任意の点 $p を線で$ $L$ の任意の点に接続します。線と $C$ $n$ $\$ $L$ $の交点には多くの連結成分が含まれる場合がありますが、 p$ を含む成分は $pから$ $G$ $\$ $L$ への連続パスを提供します。

参考文献

歴史的参照

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オズグッド、ウィリアム・フォッグ（1966）[1913]、「複素変数関数の理論に関する話題（完全版および修正版）」、ニューヨーク：ドーバー、pp. IV+120、JFM 45.0661.02、MR 0201668、Zbl 0138.30901。
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セヴェリ、フランチェスコ(1958 年)、Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956 ～ 1957 年、ローマのアルタマテマティカ国立研究所(イタリア語)、パドバ: CEDAM – Casa Editrice Dot。アントニオ・ミラニ、Zbl 0094.28002タイトルの翻訳は次の通りです。「複素変数の解析関数に関する講義 - 1956～57 年にローマの国立高等数学研究所で講義」。この本は、フランチェスコ・セヴェリが国立高等数学研究所(現在は彼の名前が付けられている)で行った講義の講義ノートから構成され、エンツォ・マルティネッリ、ジョヴァンニ・バッティスタ・リッツァ、マリオ・ベネディクティの付録が含まれています。
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科学的参考文献

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セヴェリ、フランチェスコ(1942–1943)、「A proposito d'un teorema di Hartogs」[Hartogs の定理について]、Commentarii Mathematici Helvetici (イタリア語)、15 (1): 350–352、doi :10.1007/bf02565650、MR 0010730、S2CID 120514642、Zbl 0028.15301、2011-10-02 にオリジナルからアーカイブ、 2011-06-25 に取得. SEALS ポータルで閲覧可能。Wayback Machineで 2012-11-10 にアーカイブ。

外部リンク

Chirka, EM (2001) [1994]、「ハートッグスの定理」、数学百科事典、EMS Press
「1次元におけるハートッグスの定理の失敗」。PlanetMath。
PlanetMathにおける Hartogs の定理。
PlanetMathにおける Hartogs の定理の証明。

[hartogs-1] Hartogs (1906) の原著論文と、Osgood (1966, pp. 56–59)、Severi (1958, pp. 111–115)、Struppa (1988, pp. 132–134) によるさまざまな歴史的調査におけるその説明を参照してください。特に、この最後の 132 ページの参考文献で、著者は明示的に次のように書いています。「(Hartogs 1906) のタイトルで指摘されているように、また読者がすぐに理解するように、証明の重要なツールはコーシーの積分公式です。」

[2] 例えば、ウラジミロフ (1966、p. 153) では、証明についてはフックス (1963、p. 284) の本を参照するよう読者に勧めている (ただし、前者の参考文献では、証明は 324 ページにあると誤って述べられている)。

[3] Brown (1936)およびOsgood (1929)を参照。

[4] Fichera (1983) および Bratti (1986a) (Bratti 1986b) を参照。

[5] フィチェラの証明と彼の画期的な論文 (Fichera 1957) は、複素変数関数の理論の多くの専門家によって見落とされてきたようです。この分野の多くの重要な定理の正しい帰属については、Range (2002) を参照してください。

[6] Bratti (1986a) (Bratti 1986b)を参照。

[7] 彼の論文（金子 1973）とその中の参考文献を参照。

[FOOTNOTEHörmander1990Theorem_2.3.2-8] ヘルマンダー、1990 年、定理 2.3.2。

[FOOTNOTEHörmander199030-9] ヘルマンダー1990、30ページ。

[10] $C$ $n$ $\$ $L$ の任意の連結成分は、空でない開集合で $G$ $\$ $L$ と交差する必要があります。空でないことを確認するには、 $C$ $n$ $\$ $L$ の任意の点 $p を線で$ $L$ の任意の点に接続します。線と $C$ $n$ $\$ $L$ $の交点には多くの連結成分が含まれる場合がありますが、 p$ を含む成分は $pから$ $G$ $\$ $L$ への連続パスを提供します。