単体複合体

数学において、単体複体とは、単体（例えば、点、線分、三角形、およびそれらのn次元版）の構造化された集合であり、要素のすべての面と交点も集合に含まれる（図を参照）。単体複体は、現代の単体ホモトピー理論に現れるより抽象的な単体集合の概念と混同してはならない。単体複体の純粋に組み合わせ論的な対応物は、抽象単体複体である。単体複体と抽象単体複体を区別するために、前者はしばしば幾何学的単体複体と呼ばれる。^{[ 1 ]： 7}

単体複体${\displaystyle {\mathcal {K}}}$は、以下の条件を満たす単体の集合である。

1. 単体のすべての面${\displaystyle {\mathcal {K}}}$も${\displaystyle {\mathcal {K}}}$。
2. 任意の2つの単体の空でない共通部分$\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$両方の顔$\displaystyle \sigma _{1}}$そして$\displaystyle \sigma _{2}}$。

抽象単体複体の定義も参照のこと。抽象単体複体とは、大まかに言えば、関連する幾何学を持たない単体複体のことである。

単体k複体​${\displaystyle {\mathcal {K}}}$は単体複体であり、 の任意の単体の最大次元は${\displaystyle {\mathcal {K}}}$kに等しい。例えば、単体 2 複体は少なくとも 1 つの三角形を含み、四面体やより高次元の単体を含んではならない。

純粋または同質の単体k複体${\displaystyle {\mathcal {K}}}$は、次元がk未満のすべての単体が何らかの単体の面であるような単体複体である。$\displaystyle \sigma \in \mathcal {K}}$次元がちょうどk である。非公式には、純粋な 1-複体は多数の線で構成されているように見え、2-複体は多数の三角形で構成されているように見える、など。非均質複体の例としては、頂点の 1 つに線分が接続された三角形がある。純粋な単体複体は三角形分割と考えることができ、多面体の定義を提供する。

ファセットとは、最大単体、つまり、より大きな単体の面ではない、複体内の任意の単体のことです。 ^{[ 2 ]} （単体の「面」との違いに注意してください）。純粋単体複体は、すべてのファセットが同じ次元を持つ複体と考えることができます。単体多面体（の境界複体）の場合、これは多面体組み合わせ論の意味と一致します。

時には、 「面」という用語は、複合体の単体を指すために用いられることがあり、単体の面と混同してはならない。

k次元空間に埋め込まれた単体複体の場合、 k面はセルと呼ばれることがあります。セルという用語は、単体と同相な集合を表すために、より広い意味で使われることもあり、その結果、セル複体の定義につながります。

基礎空間は、単体複体の担体とも呼ばれ、その単体の和集合である。通常はで表される。${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$または${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$。

すべての単体の相対的な内部${\displaystyle {\mathcal {K}}}$その基底空間の分割を形成する${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$各点について${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$単体はちょうど 1 つだけ存在する${\displaystyle {\mathcal {K}}}$含む${\displaystyle x}$その相対的な内部において。この単体はxのサポートと呼ばれ、次のように表される。${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$[ ^{3 ] : 9​}

Kを単体複体とし、SをKにおける単体の集合とする。

Sの閉包(表記:${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$) は、 Sの各単体を含むKの最小単体部分複体です。${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$これは、 S内の各単体の各面をSに繰り返し追加することによって得られます。

Sの星(表記:${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$) は、 Sの各単体のスターの和集合です。単一の単体sに対して、 sのスターは、 sを面とするKの単体の集合です。S のスターは一般に単体複体ではないため、一部の著者はS の閉じたスター( と表記) を定義します。${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$） として${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$Sの星の閉鎖。

Sのリンク(表記)${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$) 等しい${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$. これは、 Sの閉じた星からSのすべての面の星を引いたものです。

代数トポロジーでは、単体複体は具体的な計算によく役立ちます。単体複体のホモロジー群を定義するには、すべての単体に対して一貫した向き付けが行われていることを前提として、対応する鎖複体を直接読み取ることができます。ホモトピー理論の要件により、より一般的な空間である CW 複体の使用につながります。無限複体は、代数トポロジーの基本となる技術的なツールです。代数トポロジーでは、有限単体複体の幾何学的実現と同相なコンパクトな位相空間は、通常、多面体と呼ばれます( Spanier 1966、Maunder 1996、Hilton & Wylie 1967を参照)。

組合せ論者はしばしば単体d複体Δのfベクトルを研究するが、これは整数列である。${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$ここで、f _iは Δ の ( i −1) 次元面の数です(慣例として、 Δ が空の複体でない限りf ₀  =  1 です)。たとえば、Δ が正八面体の境界である場合、そのfベクトルは (1, 6, 12, 8) であり、Δ が上に示した最初の単体複体である場合、そのfベクトルは (1, 18, 23, 8, 1) です。単体複体の可能なfベクトルの完全な特徴付けは、クルスカル・カトナの定理によって与えられます。

単体d複体 Δ のfベクトルを多項式(指数降順で記述)の係数として使用することにより、Δ のf 多項式が得られます。上記の 2 つの例では、f多項式は次のようになります。${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$そして${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$、 それぞれ。

組み合わせ論者は、単体複体 Δ のh ベクトルに非常に興味を持つことが多い。h ベクトルとは、 x  −  1 をΔ のf多項式に代入して得られる多項式の係数列のことである。形式的には、F _Δ ( x )をΔ のf多項式とすると、 Δ のh 多項式は次のようになる。

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

Δのhベクトルは

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

正八面体の境界のhベクトル（最初の例）は次のように計算します。

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

したがって、正八面体の境界のhベクトルは (1, 3, 3, 1) です。このhベクトルが対称であることは偶然ではありません。実際、これは Δ が単体多面体の境界である場合に必ず起こります(これらはDehn–Sommerville 方程式です)。しかし一般に、単体複体のhベクトルは必ずしも正ではありません。たとえば、Δ を共通の頂点でのみ交差する 2 つの三角形によって与えられる 2 次元複体とすると、結果として得られるhベクトルは (1, 3, −2) です。

すべての単体多面体hベクトルの完全な特徴付けは、スタンレー、ビレラ、リーによる有名なg定理によって与えられる。

単体複体は、球体充填の接触グラフ（頂点が球体の中心であり、対応する充填要素が互いに接触する場合に辺が存在するグラフ）と同じ幾何学的構造を持つと見なすことができ、そのため、球体充填における接触するペア（1単体）、接触するトリプレット（2単体）、接触するクワッド（3単体）の数など、球体充填の組み合わせを決定するために使用できます。

位相空間の三角形分割${\displaystyle X}$同相写像${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$どこ$\displaystyle {\mathcal {T}}}$これは単体複体である。

位相空間は必ずしも三角形分割を許容するとは限らず、許容する場合でも一意ではない。次元の位相多様体$d ≤ 3$常に三角形分割可能であるが、^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}必ずしも${\displaystyle d>3}$[ ^{7 ] [ 8 ]​}

任意の次元の微分可能多様体$d ≥ 1$三角測量を認める。^{[ 9 ]}

要約${\displaystyle d}$次元単体複体は、${\displaystyle (2d+1)}$-次元空間。^{[ 10 ]： Ch. I Th. 3 [ 11 ]： Ch. IV §1.9}この結果は、（弱い） Whitney埋め込み定理の区分的線形対応物である。

単体複体認識問題とは、有限単体複体が与えられたとき、それが与えられた幾何学的オブジェクトと同相であるかどうかを判定する問題である。この問題は、任意のd次元多様体に対しては判定不能である。${\displaystyle d\geq 5}$[ ^{12 ] [ 13 ] : 9–11​}

• 抽象単体複体
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• 多角形鎖– 1次元単体複体 
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• Weisstein, Eric W. 「単体複体」 . MathWorld .