地理数学

地理数学（数理地球科学、数理地質学、数理地球物理学とも呼ばれる）は、地質学や地球物理学、特に地球力学や地震学などの地球科学における問題を解決するための数学的手法の応用である。

地球流体力学は、大気、海洋、地球内部の流体力学の理論を開発します。 ^{[1]その応用分野には、地球力学や}地球ダイナモの理論が含まれます。

地球物理学的逆理論は、地球物理学的データを分析してモデルパラメータを取得することに関係しています。^{[2] [3]}これは、「表面での測定から地球内部について何がわかるのか」という疑問に関係しています。一般的に、正確なデータの理想的な限界でさえ、知ることができることには限界があります。^[4]

逆理論の目的は、ある変数 (たとえば、密度や地震波の速度) の空間分布を決定することです。分布によって、表面の観測可能な値 (たとえば、密度の重力加速度) が決まります。この変数の分布が与えられた場合、表面の観測結果を予測する 順方向モデルが必要です。

応用分野には、地磁気学、地磁気地磁気学、地震学などがあります。

多くの地球物理学的データセットは、観測されたマグニチュードの頻度がマグニチュードの何乗かで変化するというべき乗則に従うスペクトルを持っている。一例は地震のマグニチュードの分布である。小さな地震は大きな地震よりもはるかに一般的である。これは、データセットが基礎にフラクタル幾何学を持っていることを示していることが多い。フラクタル集合には、多くのスケールでの構造、不規則性、自己相似性（全体とよく似た部分に分割できる）など、いくつかの共通の特徴がある。これらの集合を分割する方法によって集合のハウスドルフ次元が決まり、これは通常、より一般的な位相次元とは異なる。フラクタル現象は、カオス、自己組織化臨界性、乱流に関連している。^[5]ガボール・コルビンの「地球科学におけるフラクタルモデル」は、地球科学におけるフラクタルの応用に関する初期の本の1つである。^[6]

データ同化は、地球物理学的システムの数値モデルと、空間的および時間的に不規則な可能性のある観測とを組み合わせる。多くのアプリケーションは地球物理学的流体力学を伴う。流体力学モデルは、一連の偏微分方程式によって支配される。これらの方程式が適切な予測を行うためには、正確な初期条件が必要である。しかし、多くの場合、初期条件はあまりよくわかっていない。データ同化法では、モデルに後の観測を組み込んで初期条件を改善することができる。データ同化は、天気予報においてますます重要な役割を果たしている。^[7]

モデルの検証や不確実性の定量化 など、いくつかの統計的問題は数理地球物理学の範疇に入ります。

逆解析法を利用する重要な研究分野は 、地震波を使用して地球の地下を画像化する技術である地震トモグラフィーです。従来は、地震または人為的な地震源（爆発物、海上空気銃など） によって生成された地震波が使用されていました。

結晶学は、数学を使用する地質学の伝統的な分野の 1 つです。結晶学者は、計量行列を使用して線形代数を活用します。計量行列は、単位格子の寸法の基底ベクトルを使用して、単位格子の体積、d 間隔、2 つの平面間の角度、原子間の角度、および結合長を見つけます。^{[8]ミラー指数も}計量行列の適用に役立ちます。ブラッグの式は、電子顕微鏡を使用して、サンプル内の光の回折角、波長、および d 間隔の関係を示すときにも役立ちます。^[8]

地球物理学は、地球科学の中で最も数学を多用する分野の一つです。重力、磁気、地震、電気、電磁気、抵抗率、放射能、誘導分極、坑井検層など、多くの応用分野があります。^[9]重力法と磁気法は、その地域の岩石の密度に基づいて重力場の小さな変化を測定するため、同様の特徴を共有しています。^[9]同様の重力場は、磁場に比べてより均一で滑らかになる傾向があります。重力は石油探査によく使用され、地震計も使用できますが、大幅に高価になることがよくあります。^[9]地震計は、その浸透力、解像度、精度のため、ほとんどの地球物理学的手法よりも多く使用されています。

地形学における数学の応用の多くは水に関連しています。土壌の面では、ダルシーの法則、ストークスの法則、多孔度などが使用されます。

• ダルシーの法則は、均一な飽和土壌がある場合に、その媒体中を流体がどのように流れるかを説明するために使用されます。 ^{[10]この種の研究は}水文地質学に分類されます。
• ストークスの法則は、異なる大きさの粒子が流体からどれだけ速く沈降するかを測定します。^{[10]これは、土壌の}ピペット分析を行って砂、シルト、粘土の割合を調べるときに使用されます。 ^[11]潜在的な誤りは、存在しない完全な球形の粒子を仮定していることです。
• 流力は、川が川床に浸食する能力を調べるために使用されます。これは、川が崩壊して進路を変える可能性のある場所を確認したり、河川システム（ダムの下流など）で流砂が失われたことによる被害を調べる場合に適用できます。
• 微分方程式は、指数関数的成長方程式、堆積岩の分布、岩石中のガスの拡散、クレニュレーションの劈開など、地形学のさまざまな分野で使用できます。 ^[12]

氷河学における数学は、理論、実験、およびモデリングから構成されます。通常、氷河、海氷、水の流れ、および氷河の下の土地を扱います。

多結晶氷は、他の氷結晶によって既にブロックされている基底面に応力がかかることから、単結晶氷よりも変形が遅い。^[13]ラメ定数を使用しながら弾性特性を示すために、フックの法則で数学的にモデル化することができる。^[13]一般的に、氷の線形弾性定数は空間の1次元にわたって平均化されており、方程式を簡略化しながらも精度を維持している。^[13]

粘弾性多 結晶氷は、通常 1バール未満の低応力であると考えられています。^[13]このタイプの氷システムでは、氷の張力によるクリープや振動をテストします。この研究分野で最も重要な方程式の 1 つは、緩和関数と呼ばれます。 ^[13]これは、時間に依存しない応力と歪みの関係です。 ^[13]この分野は通常、浮氷上の輸送や建物に適用されます。^[13]

浅氷近似は、厚さが一定で応力が小さく速度も一定でない氷河に有効です。 ^[13]数学的研究の主な目標の1つは、応力と速度を予測できるようにすることです。これは、氷の特性と温度の変化によって影響を受ける可能性があります。これは、基底せん断応力の式を使用できる領域です。^[13]

• 国際地理数学ジャーナル
• 数理地球科学

• 地理計算
• 地理情報学
• 国際数理地球科学協会(IAMG)

• パーカー、ロバート L. (1994)。地球物理学的逆理論。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-03634-9。
• ペドロスキー、ジョセフ (2005)。地球物理流体力学。工業応用数学協会。ISBN 0-89871-572-5。
• タラントラ、アルバート（1987）。逆問題理論とモデルパラメータ推定法。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-96387-1。
• ターコット、ドナルド L. (1997)。地質学と地球物理学におけるフラクタルとカオス。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-56164-7。
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• Agterberg, Fr​​its (2014).地理数学: 理論的基礎、応用、将来の展開. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-06874-9. OCLC  885024357.
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