ダイナモ理論

物理学において、ダイナモ理論は、地球や恒星などの天体が磁場を生成するメカニズムを提唱しています。ダイナモ理論は、回転、対流、および導電性流体が天文学的な時間スケールで磁場を維持できるプロセスを説明します。ダイナモは、地球の磁場、水星、木星系惑星の磁場の源であると考えられています。

ウィリアム・ギルバートは1600年に『磁石論』を出版し、地球は磁性を持っていると結論付け、この磁性の起源について、磁石に見られるような永久磁性という最初の仮説を提唱した。1822年、アンドレ＝マリー・アンペールは地球の磁性の原因は内部電流であると提唱した。^[2] 1919年、ジョセフ・ラーモアはダイナモが磁場を生成しているのではないかと提唱した。 ^{[3] [4]}しかし、彼が仮説を提唱した後も、著名な科学者の中には別の説明を唱える者もいた。ノーベル賞受賞者のパトリック・ブラケットは、角運動量と磁気モーメントの基本的な関係を探す一連の実験を行ったが、何も見つからなかった。^{[5] [6]}

地球の磁気を説明するものとして現在受け入れられているダイナモ理論の「父」とみなされているウォルター・M・エルサッサーは、この磁場は地球の流体の外核に誘導された電流から生じると提唱しました。彼は岩石中の鉱物の磁気配向の研究の先駆者となり、地球の磁場の歴史を明らかにしました。

磁場をオーム崩壊（双極子磁場では2万年以内に起こる）から守るためには、外核が対流している必要がある。対流は熱対流と組成対流の組み合わせである可能性が高い。マントルは、コアから熱が抽出される速度を制御する。熱源には、コアの圧縮によって解放される重力エネルギー、内核境界の成長時に軽元素（おそらく硫黄、酸素、またはケイ素）が排除されることによって解放される重力エネルギー、内核境界での結晶化潜熱、カリウム、ウラン、トリウムの放射能などがある。^[7]

21 世紀初頭、地球の磁場の数値モデル化はまだ成功していない。初期のモデルは、惑星の流体の外核における対流による磁場生成に焦点を当てている。モデルが均一な核表面温度と核流体の非常に高い粘性を仮定すると、地球のような強力な磁場の生成を示すことが可能だった。より現実的なパラメータ値を組み込んだ計算では、地球に似ていない磁場が生成されたが、モデルの改良^{[どれが？ ]}によって最終的に正確な解析モデルが実現される可能性があることが示された。数ミリケルビンの範囲での核表面温度のわずかな変化は、対流の流れを大幅に増加させ、より現実的な磁場を生成する。^{[8] [9]}

ダイナモ理論は、回転、対流、電気伝導性の流体が磁場を維持するために作用するプロセスを説明する。この理論は、天体における異常に長寿命の磁場の存在を説明するために使用される。地球ダイナモの導電性流体は外核の液体鉄であり、太陽ダイナモではタコクラインのイオン化ガスである。天体ダイナモ理論は、流体が磁場を継続的に再生する方法を調査するために磁気流体力学方程式を使用する。 ^[10]

かつては、地球の磁場の大部分を占め、自転軸に沿って 11.3 度ずれている双極子は、地球内の物質の永久磁化によって生じたものだと考えられていました。つまり、ダイナモ理論はもともと、太陽の磁場と地球の磁場との関係を説明するために使用されていました。しかし、 1919 年にジョセフ・ラーモアによって最初に提唱されたこの仮説は、磁気永年変化、古地磁気学(極性反転を含む)、地震学、太陽系の元素の豊富さに関する広範な研究により修正されました。また、カール・フリードリヒ・ガウスの理論を磁気観測に適用したところ、地球の磁場は外部ではなく内部に起源があることが示されました。

ダイナモが動作するには 3 つの条件があります。

• 導電性流体媒体
• 惑星の自転によってもたらされる運動エネルギー
• 流体内の対流運動を駆動する内部エネルギー源。^[11]

地球の場合、磁場は外核の液体鉄の対流によって誘導され、一定に維持されます。磁場の誘導には、回転する流体が必要です。外核の回転は、地球の自転によって引き起こされるコリオリの力によって供給されます。コリオリの力は、流体の動きと電流を、自転軸に沿った列 (テイラー列も参照) にまとめる傾向があります。磁場の誘導または生成は、誘導方程式によって記述されます。 ここで、uは速度、Bは磁場、tは時間、 は電気伝導率 および透磁率による磁気拡散率です。右辺の第 2 項と第 1 項の比は、磁気レイノルズ数、つまり磁場の移流と拡散の無次元比を与えます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )}$$${\displaystyle \eta =1/(\sigma \mu )}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu}$

天体の軌道を周回する間に生じる潮汐力により摩擦が生じ、天体の内部が加熱される。これは潮汐加熱と呼ばれ、内部を液体状態に維持するのに役立つ。ダイナモを発生させるには、電気を伝導できる液体の内部が必要である。土星のエンケラドゥスと木星のイオは、内部核を液化させるのに十分な潮汐加熱を持っているが、電気を伝導できないためダイナモは形成されない可能性がある。^{[12] [13]}水星は小さいにもかかわらず磁場を持っている。これは、鉄の組成と高度に楕円形の軌道から生じる摩擦によって導電性の液体核が形成されるためである。^[14]磁化された月の岩石の証拠に基づいて、月はかつて磁場を持っていたと理論づけられている。これは、月が地球に短期間近づいたために潮汐加熱が発生したためである。^[15]惑星の軌道と自転は液体核の提供に役立ち、ダイナモ作用を支える運動エネルギーを補う。

運動学的ダイナモ理論では、速度場は動的変数ではなく、規定されています。モデルでは、磁場に応じて流れが変形することを考慮していません。この方法では、完全に非線形なカオスダイナモの時間可変動作を提供することはできませんが、磁場の強度が流れの構造と速度によってどのように変化するかを調べるために使用できます。

マクスウェル方程式をオームの法則の回転と同時に用いると、磁場 ( B ) の基本的に線形の固有値方程式を導くことができます。これは、磁場が速度場から独立していると仮定した場合に行うことができます。臨界磁気レイノルズ数に到達し、これを超えると流れの強さが印加磁場を増幅するのに十分になり、これ以下では磁場が消散します。

運動学的ダイナモ理論の最も機能的な特徴は、速度場がダイナモ作用を及ぼす可能性があるかどうかをテストするために使用できることです。実験的に特定の速度場を小さな磁場に適用すると、適用された流れに応じて磁場が増加する傾向があるかどうか (または増加しない傾向があるかどうか) を観察できます。磁場が増加する場合、システムはダイナモ作用を及ぼす可能性があるか、ダイナモです。一方、磁場が増加しない場合は、単に「ダイナモではない」と呼ばれます。

膜パラダイムと呼ばれる類似の方法は、ブラックホールを観察する方法であり、ブラックホールの表面近くの物質をダイナモ理論の言語で表現することができます。

運動学的ダイナモは、背景物質の流れに関連する確率微分方程式の位相的超対称性が自発的に崩れる現象として見ることもできる。^[16]確率的超対称性理論では、この超対称性はすべての 確率微分方程式の本質的な性質であり、モデルの位相空間は連続時間の流れを介して連続性を維持すると解釈される。その流れの連続性が自発的に崩れると、システムは決定論的カオスの確率状態になる。^[17]言い換えれば、運動学的ダイナモは、基礎となる背景物質のカオス的な流れのために発生する。

磁場が流体の運動に影響を与えるほど強くなると、運動学的近似は無効になります。その場合、速度場はローレンツ力の影響を受けるため、誘導方程式は磁場内で線形ではなくなります。ほとんどの場合、これはダイナモの振幅の消滅につながります。このようなダイナモは、流体磁気ダイナモと呼ばれることもあります。^[18] 天体物理学と地球物理学におけるダイナモのほとんどすべては、流体磁気ダイナモです。

この理論の基本的な考え方は、外核に存在する小さな磁場は、ローレンツ力によってそこを流れる流体に電流を生み出すというものです。これらの電流は、アンペールの法則によってさらに磁場を生み出します。流体の動きによって、電流は磁場が強くなるように運ばれます（が負である限り^[19]）。したがって、「シード」磁場は、存在する非磁性の力に関連する値に達するまで、どんどん強くなることができます。 ${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

数値モデルは、完全に非線形なダイナモをシミュレートするために使用されます。次の方程式が使用されます。

• 上に示した誘導方程式。
• 無視できる電界に対するマクスウェル方程式:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\[1ex]&\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} \end {整列}}}$$
• 質量保存の連続方程式。ブシネスク近似がよく使用されます。$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$
• 運動量保存のナビエ・ストークス方程式は、これも同じ近似で、磁力と重力を外力として、動粘性、平均密度、浮力を与える相対密度摂動（熱対流の場合、熱膨張係数）、地球の自転速度、電流密度です。$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u } +\rho '\mathbf {g} +2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} +{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ~,}$$${\displaystyle \,\nu \,}$${\displaystyle \,\rho _{0}\,}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \;\rho '=\alpha \Delta T\;}$${\displaystyle \,\alpha \,}$${\displaystyle \,\オメガ \,}$${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$
• 輸送方程式。通常は熱に関するものです (軽元素の濃度に関する場合もあります)。ここで、Tは温度、は熱拡散率( kは熱伝導率、熱容量、密度)、はオプションの熱源です。圧力は、静水圧と求心力を除いた動圧であることが多いです。$${\displaystyle {\frac {\,\partial T\,}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\varepsilon }$$${\displaystyle \;\kappa =k/\rho c_{p}\;}$${\displaystyle \,c_{p}\,}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \epsilon }$

これらの方程式は無次元化され、無次元パラメータが導入される。 ここで、R _aはレイリー数、E はエクマン数、P _rとP _{m は}プラントル数と磁気プラントル数である。磁場のスケーリングは、多くの場合、エルザッサー数単位で行われる。$${\displaystyle R_{\mathsf {a}}={\frac {\,g\alpha TD^{3}\,}{\nu \kappa }}\;,\quad E={\frac {\nu }{\,\Omega D^{2}\,}}\;,\quad P_{\mathsf {r}}={\frac {\,\nu \,}{\kappa }}\;,\quad P_{\mathsf {m}}={\frac {\,\nu \,}{\eta }}}$$${\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}.}$

ナビエ・ストークス方程式の上記の形式と のスカラー積は、左側に運動エネルギー密度の増加率 を与えます。右側の最後の項は で、ローレンツ力による運動エネルギーへの局所的な寄与です。 ${\displaystyle \;\rho _{0}\mathbf {u} \;}$${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}\rho _{0}u^{2}c\;}$${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

誘導方程式の とのスカラー積は、左側の磁気エネルギー密度の増加率 を与えます。右側の最後の項は、 です。方程式は体積積分されているため、この項は境界項を除いて(スカラー三重積恒等式を 2 回使用して)と等価です(ここではマクスウェル方程式の 1 つが使用されています)。これは、流体運動による磁気エネルギーへの局所的な寄与です。 ${\textstyle {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} }$${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}\mu _{0}B^{2}\;}$${\textstyle {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {B} \right)\right)\;.}$${\textstyle \;-\mathbf {u} \cdot \left({\tfrac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} \right)=-\mathbf {u} \cdot \left(\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)~}$

したがって、この項は運動エネルギーから磁気エネルギーへの変換率です。ダイナモが磁場を生成するためには、この値は少なくとも体積の一部では非負でなければなりません。^[19]${\displaystyle \;-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

上の図からは、なぜこの項が正になるのかは明らかではありません。単純な議論は、正味の効果を考慮することで成り立ちます。磁場を作り出すには、正味の電流が惑星の自転軸の周りを回る必要があります。その場合、項が正になるためには、伝導物質の正味の流れが自転軸に向かっている必要があります。図は、両極から赤道への正味の流れのみを示しています。しかし、質量保存則では、赤道から両極に向かう追加の流れが必要です。その流れが自転軸に沿っていた場合、示されているものから自転軸に向かう流れによって循環が完了し、望ましい効果を生み出すことを意味します。

運動エネルギーから磁気エネルギーへの変換率を表す上記の式は、速度が である外核物質に対するの力によって行われる仕事率に相当します。この仕事は、流体に作用する非磁性の力の結果です。 ${\displaystyle \;\mathbf {J} \times \mathbf {B} \;}$${\displaystyle \mathbf {u} }$

これらのうち、重力と遠心力は保存力であるため、閉ループ内の流体の動きに全体的には寄与しません。残りの2つの力、すなわち粘性力とコリオリの力の比であるエクマン数（上記で定義）は、地球の外核内では非常に低くなります。これは、流動性のために 粘性が低いためです（1.2〜1.5× ^10-2 パスカル秒^{[20] ）。}

したがって、この仕事に対する主な時間平均の寄与はコリオリの力によるものであり、その大きさはこの量によって決まり、間接的にしか関連しておらず、一般に局所的には等しくありません（したがって、それらは互いに影響を及ぼしますが、同じ場所と時間には影響しません）。 ${\displaystyle \;-2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} \;,}$${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

電流密度J は、オームの法則によれば、磁場の結果です。ここでも、物質の動きと電流の流れにより、必ずしも同じ場所と時間における磁場とは限りません。しかし、これらの関係は、問題となる量の桁数を推測するために使用できます。

大きさの順序で、および、またはを与える: ${\displaystyle \;J\,B\sim \rho \,\Omega \,u\;}$${\displaystyle \;J\sim \sigma uB\;}$${\displaystyle \;\sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u\;,}$$${\displaystyle B\sim {\sqrt {{\frac {\,\rho \,\Omega \,}{\sigma }}\;}}}$$

両辺の正確な比はエルザッサー数の平方根です。

この近似から磁場の方向を推測することはできないことに注意してください（少なくともその符号は推測できません）。磁場の方向は 2 乗して表示され、実際には反転することもあります。ただし、一般には の軸と同様の軸上にあります。 ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

地球の外核では、ρは約10 ⁴ kg/m ³、^[20]   Ω = 2 π /日 = 7.3×10 ⁻⁵ /秒、   σは   約10 ⁷ Ω ⁻¹ m ⁻¹です 。^[21] これにより、2.7×10 ⁻⁴ テスラが得られます。

磁気双極子の磁場は距離に対して反比例関係にあるため、地球表面での磁場の大きさは、上記の結果に( R_外核⁄ R_地球 ) ³ = ( 2890 ⁄ 6370 ) ³ = 0.093 を乗じて近似することができ、 2.5×10 ^{−5テスラとなり、}赤道での 測定値 3×10 ⁻⁵ テスラとそれほど変わりません。

一般的に、地球ダイナモのモデルは、上記のセクションで述べたように、特定の条件と方程式を前提として、観測データと一致する磁場を生成しようとします。磁気流体力学方程式をうまく実装することは、ダイナモ モデルを自己無矛盾に押し上げたため、特に重要でした。地球ダイナモ モデルは特に普及していますが、ダイナモ モデルは必ずしも地球ダイナモに限定されるわけではありません。太陽ダイナモ モデルや一般ダイナモ モデルも興味深いものです。ダイナモ モデルを研究することは、地球物理学の分野で有用です。なぜなら、さまざまなメカニズムが地球などの天体によって生成される磁場と同じような磁場を形成する方法や、磁場が極反転などの特定の特徴を示す原因となる方法を特定できるからです。

ダイナモの数値モデルで使用される方程式は非常に複雑です。何十年もの間、理論家は、流体の動きが事前に選択され、磁場への影響が計算される、上記の 2 次元の運動ダイナモモデルに限定されていました。線形から非線形の 3 次元ダイナモ モデルへの進歩は、運動モデルで行われた多くの仮定の必要性を排除し、自己一貫性を可能にする磁気流体力学方程式の解の探索によって大きく妨げられました。

最初の自己無撞着ダイナモモデルは、流体の運動と磁場の両方を決定するモデルであり、1995年に日本^[22]と米国[23]の2つのグループによって開発されました。^[24]後者は地球ダイナモに関するモデルとして作成され、地球の磁場の特性の一部をうまく再現したことで大きな注目を集めました。^[19]この画期的な進歩に続いて、合理的な3次元ダイナモモデルの開発が大きく進みました。^[19]

現在では多くの自己矛盾のないモデルが存在するが、モデル間では、得られる結果と開発方法の両方において大きな違いがある。^[19]地磁気ダイナモモデルの開発は複雑であるため、ダイナモにエネルギーを供給するメカニズムに関する仮定を行うとき、方程式で使用するパラメータの値を選択するとき、または方程式を正規化するときなど、矛盾が生じる可能性のある箇所は数多くある。多くの違いが生じる可能性があるにもかかわらず、ほとんどのモデルは明確な軸双極子などの共通の特徴を持っている。これらのモデルの多くでは、永年変化や地磁気極性反転などの現象もうまく再現されている。^[19]

ダイナモモデルからは多くの観察が可能です。モデルは磁場が時間とともにどのように変化するかを推定するのに使用でき、観測された古地磁気データと比較してモデルと地球の類似点を見つけることができます。しかし、古地磁気観測の不確実性のため、比較が完全に有効または有用であるとは限りません。^[19]簡略化された地球ダイナモモデルは、ダイナモ数（外核の回転速度の変動と鏡面非対称対流（たとえば、対流が北では一方の方向を優先し、南ではもう一方の方向を優先する場合）によって決定される）と磁極反転との関係を示し、地球ダイナモと太陽のダイナモの類似点も発見しました。^[19]多くのモデルでは、磁場は平均してゼロになる通常の傾向に従う、いくぶんランダムな大きさを持っているようです。^[19]これらの観察に加えて、モデルが地球から収集された実際のデータをどれだけ正確に反映しているかに基づいて、地球ダイナモを動かすメカニズムに関する一般的な観察を行うことができます。

ダイナモのモデリングは非常に複雑であるため、地球ダイナモのモデルは現在のスーパーコンピュータの能力によって制限されます。特に、外核のエクマン数とレイリー数の計算は極めて困難であり、膨大な計算量を必要とするためです。

1995 年の自己無撞着なブレークスルー以来、ダイナモモデリングには多くの改良が提案されてきた。複雑な磁場の変化を研究するための 1 つの提案は、計算を簡素化するためにスペクトル法を適用することである。 ^[25]最終的には、コンピュータの処理能力が大幅に向上するまで、現実的なダイナモモデルの計算方法をより効率的にする必要があるため、モデルの計算方法を改善することは数値ダイナモモデリングの進歩にとって非常に重要である。

• スタニスラフ・I・ブラギンスキー、研究地球物理学者

• 反ダイナモ定理
• 回転磁場
• 経年変化

• Demorest, Paul (2001 年 5 月 21 日)。「ダイナモ理論と地球の磁場 (学期末レポート)」(PDF)。2007 年 2 月 21 日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2011 年10 月 14 日に閲覧。
• フィッツパトリック、リチャード (2002 年 5 月 18 日)。「MHD ダイナモ理論」。プラズマ物理学。テキサス大学オースティン校。2011年10 月 14 日閲覧。
• メリル、ロナルド T.; マケルヒニー、マイケル W.; マクファデン、フィリップ L. (1996)。地球の磁場: 古地磁気、核、深部マントル。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-491246-5。
• スターン、デイビッド・P.「第12章：ダイナモ過程」。大いなる磁石、地球。 2011年10月14日閲覧。
• スターン、デイビッド・P.「第13章：地球の中心核のダイナモ」。大磁石、地球。 2011年10月14日閲覧。