ガウスの重力の法則

物理学において、ガウスの重力の法則は、ガウスの重力フラックス定理としても知られ、ニュートンの万有引力の法則に相当する物理法則です。カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられました。これは、任意の閉じた表面上の重力場のフラックス（表面積分）は、囲まれた質量に比例することを述べています。ガウスの重力の法則は、ニュートンの法則よりも扱いやすいことがよくあります。^[1]

ガウスの重力の法則の形は、マクスウェル方程式の 1 つであるガウスの静電気の法則と数学的に似ています。ガウスの重力の法則は、ガウスの静電気の法則がクーロンの法則に対して持つのと同じ数学的関係をニュートンの法則に対して持っています。これは、ニュートンの法則とクーロンの法則の両方が3 次元空間での 反比例の相互作用を記述するためです。

重力場 g (重力加速度とも呼ばれる) はベクトル場、つまり空間 (および時間) の各点におけるベクトルです。これは、粒子が受ける重力が、その点における粒子の質量と重力場の積に等しくなるように定義されます。

重力フラックスは、閉じた表面上の重力場の面積分であり、磁束が磁場の面積分であるのと同様です。

ガウスの重力の法則は次のように述べています。

任意の閉じた表面を通過する重力流束は、その閉じた表面に含まれる質量に比例します。

ガウスの重力法則の積分形式は次のようになります。

どこ

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ （ とも表記される）は閉曲面上の面積分を表し、${\displaystyle \oint _{\partial V}}$
• ∂ V は任意の閉面（任意の体積Vの境界）であり、
• d Aはベクトルであり、その大きさは表面 ∂ Vの微小部分の面積であり、その方向は外向きの表面法線である（詳細は表面積分を参照）。
• gは重力場であり、
• Gは万有引力定数であり、
• M は表面 ∂ V内に囲まれた総質量です。

この式の左辺は重力場のフラックスと呼ばれます。法則によれば、フラックスは常に負 (またはゼロ) であり、正にはならないことに注意してください。これは、フラックスが正または負のいずれかになる可能性がある電気のガウスの法則とは対照的です。違いは、電荷は正または負のいずれかになる可能性があるのに対し、質量は正のみになるという点です。

重力状態に関するガウスの法則の微分形式

ここで、は発散、Gは万有引力定数、ρ は各点における 質量密度です。${\displaystyle \nabla \cdot}$

ガウスの重力法則の 2 つの形式は数学的に同等です。発散定理は次のように述べます。 ここで、 Vは単純な閉じた有向面 ∂ Vで囲まれた閉じた領域であり、dV は体積Vの無限小部分です(詳細については体積積分を参照してください)。重力場g は、 Vの近傍で定義される連続的に微分可能なベクトル場でなければなりません。 $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV}$$

また、 発散定理をガウスの重力法則の積分形式に適用すると、次のようになります。 これは 書き直すと次のようになります。 これは、すべての可能な体積V に対して同時に成立する必要があります。 これが起こる唯一の方法は、積分関数が等しい場合です。 したがって、次の式に到達します。 これは、 ガウスの重力法則の微分形式です。 $${\displaystyle M=\int _{V}\rho \ dV}$$$${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV}$$$${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$$

この方法の逆を用いて微分形式から積分形式を導くことも可能である。

2 つの形式は同等ですが、特定の計算ではどちらか一方を使用する方が便利な場合があります。

ガウスの重力の法則は、ニュートンの万有引力の法則から導かれます。万有引力の法則は、質点による重力場が次のように表されると述べています。 ここで $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}} }$$

• e _{r は}放射状単位ベクトルであり、
• r は半径、| r | です。
• M は粒子の質量であり、原点に位置する質点であると仮定されます。

ベクトル計算を用いた証明を下のボックスに示す。これはクーロンの法則から始まるガウスの法則（静電気学）の証明と数学的に同一である。^[2]

ガウスの法則だけではニュートンの法則を数学的に証明することは不可能である。なぜなら、ガウスの法則はgの発散を特定するが、 gの回転に関する情報をまったく含まないからである（ヘルムホルツ分解を参照）。ガウスの法則に加えて、重力は保存力であるため、 gは非回転（回転がゼロ）であるという仮定が用いられる。

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =0}$

これらだけでは十分ではありません。ニュートンの法則を証明するには、質量から無限に離れたところでは場がゼロであるという仮定など、 gに関する境界条件も必要です。

これらの仮定からニュートンの法則が証明されると次のようになります。

前述のように、重力場は回転角がゼロであるため（つまり、重力は保存力である）、重力ポテンシャルと呼ばれるスカラーポテンシャルの勾配として表すことができます。 すると、重力に関するガウスの法則の微分形式はポアソン方程式になります。 これは、重力ポテンシャルと重力場を計算する別の方法を提供します。ポアソン方程式を介してg を計算することは、ガウスの法則から直接gを計算することと数学的に同等ですが、特定の状況ではどちらか一方のアプローチの方が計算が簡単な場合があります。 $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

放射対称系では、重力ポテンシャルは 1 つの変数 (つまり) のみの関数であり、ポアソン方程式は次のようになります (円筒座標と球座標の Del を参照)。 一方、重力場は次のようになります。 ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$$${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)}$$$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.}$$

方程式を解くときは、有限密度の場合、∂ ϕ /∂ r は境界（密度の不連続点）で連続し、r = 0の場合はゼロになる必要があることを考慮する必要があります。

ガウスの法則は、ニュートンの法則を直接適用するのが難しい（しかし不可能ではない）特定のケースで、重力場を簡単に導くために使用できます。これらの導出方法の詳細については、 ガウス面の記事を参照してください。次のような 3 つの応用があります。

我々は（「ガウスのピルボックス」を使用することで）有限の厚さを持つ無限の平板（ブーゲ板）に対して、板の外側の重力場は板に垂直で板に向かっており、大きさは板までの距離に関わらず単位面積あたりの質量の2πG倍であると結論付けることができる^[3]（重力異常も参照）。

より一般的には、密度が 1 つの直交座標zのみに依存する質量分布の場合、任意のzに対する重力は、このz値の両側の単位面積あたりの質量の差の2 πG倍になります。

特に、単位面積あたりの質量が等しい 2 つの平行な無限プレートを平行に組み合わせると、それらの間に重力場は生成されません。

無限に均一な（ z方向）円筒対称の質量分布の場合、 （円筒状のガウス面を使用することで）中心から距離rでの場の強度は、より大きな距離にある質量に関係なく、より短い距離（軸から）での単位長さあたりの全質量の2 G / r倍の大きさで内側に向いていると結論付けることができます。

たとえば、無限の均一な中空円筒の内部では、磁場はゼロになります。

球対称の質量分布の場合、（球状のガウス面を使用して）中心から距離rにある場の強度は、 rより短い距離にある全質量の^{2倍の大きさの}G / rで内側に向くと結論付けることができます。中心からrより遠い距離にある質量は、結果として何の影響も及ぼしません。

たとえば、中空の球体では、内部に正味の重力は発生しません。内部の重力場は、中空の球体が存在しないのと同じです (つまり、結果として生じる場は、球体を含まないすべての質量の場であり、球体の内側と外側の両方に存在する可能性があります)。

これはガウスの万有引力の法則から 1 行か 2 行の代数で導かれますが、アイザック ニュートンが万有引力の法則を使ってこれを直接導くには、数ページにわたる面倒な計算が必要でした。この直接的な導出については、 シェル定理の記事を参照してください。

ニュートン重力のラグランジアン密度は、 このラグランジアンにハミルトン原理 を適用すると、重力に関するガウスの法則が得られます。 詳細については、 ラグランジアン (場の理論) を参照してください。$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}$$$${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).}$$

• 「ガウスの重力の法則」という用語の使用法については、例えば、Moody, MV; Paik, HJ (1993 年 3 月 1 日) を参照してください。「短距離でのガウスの重力の法則テスト」。Physical Review Letters。70 (9): 1195–1198。Bibcode :1993PhRvL..70.1195M。doi :10.1103 / PhysRevLett.70.1195。PMID 10054315  。