普遍表現（C*-代数）

C*-代数の理論では、 C*-代数の普遍表現は、C*-代数の状態に対応するGNS 表現の直和である忠実な表現です。普遍表現のさまざまな特性は、C*-代数のイデアルと商に関する情報を取得するために使用されます。C*-代数の任意の表現とその普遍表現の密接な関係を利用して、代数上の線型関数が超弱連続であるかどうかを判断するためのいくつかの基準を取得できます。普遍表現の特性をツールとして使用して C*-代数とその表現に関する結果を証明する方法は、文献では 一般に普遍表現手法と呼ばれています。

定義。Aを状態空間 Sを持つC*-代数とする。表現

${\displaystyle \Phi :=\sum _{\rho \in S}\oplus \;\pi _{\rho }}$

ヒルベルト空間上のA はAの普遍表現として知られています。${\displaystyle H_{\Phi}}$

普遍表現は忠実なので、AはB(H _Φ )のC*-部分代数 Φ( A )に*-同型です。

τ をAの状態として、 π _{τ を}ヒルベルト空間H _τ上の対応するGNS 表現とします。ここで定義された表記法を使用すると、 τ はH _τ内の適切な単位ベクトルx (= x _τ )に対して ω _x ∘ π _τとなります。したがって、 τ は ω _y ∘ Φ であり、ここでyはH _Φ内の単位ベクトル Σ _{ρ∈ S} ⊕ y _ρで、y _τ =x, y _{ρ =0(ρ≠τ) で定義されます。 τ → τ ∘ Φ} ⁻¹へのマッピングはAの状態空間をΦ( A )の状態空間に移すため、 Φ( A )の各状態はベクトル状態となります。

Φ( A ) ^{− を}B(H _Φ )における Φ( A )の弱作用素閉包と表記する。 Φ( A ) 上の各有界線型関数 ρ は弱作用素連続であり、ノルムを一意に保存しながら、フォン・ノイマン代数 Φ( A ) ⁻上の弱作用素連続線型関数ρに拡張される。 ρ がエルミート、つまり正であれば、 ρについても同じことが言える。 ρ → ρの写像は、双対空間 Φ( A ) ^{*から Φ(} A ) ⁻の前双対への等長同型である。 弱位相を決定する線型関数の集合が一致するため、 Φ( A ) ⁻上の弱作用素位相は超弱位相と一致する。したがって、 Φ( A ) 上の弱作用素位相と超弱位相はどちらも、バナッハ空間としてのノルム双対から得られる Φ( A )の弱位相と一致する。

K がΦ( A )の凸部分集合である場合、 Kの超弱閉包( K ⁻と表記) は、 B(H _Φ )におけるKの強作用素、弱作用素閉包と一致する。 Kのノルム閉包はΦ( A ) ∩ K ^{−である。 Φ(} A )におけるノルム閉左イデアルの記述は、フォン・ノイマン代数のイデアルの構造理論から与えることができ、これは比較的ずっと単純である。 K がΦ( A )におけるノルム閉左イデアルである場合、 Φ( A ) ⁻に射影Eが存在し、

${\displaystyle K=\ファイ (A)\cap \ファイ (A)^{-}E,K^{-}=\ファイ (A)^{-}E}$

KがΦ( A )内のノルム閉両側イデアルである場合、EはΦ( A ) ⁻の中心にあります。

π がAの表現である場合、 Φ( A ) ⁻の中心に射影Pがあり、フォンノイマン代数 Φ( A ) ⁻ Pから π( A ) ^{−への *-同型 α があり、} Aの各aに対してπ( a ) = α(Φ( a ) P )が成り立ちます。これは、以下の可換図で簡単に表すことができます。

ここで ψ はa をaPに送る写像、 α _{0 はα の Φ(} A ) Pへの制限を表し、 ι は包含写像を表します。

_{α は超弱二連続なので、 α 0}についても同様です。さらに、 ψ は超弱連続であり、 π が忠実な表現であれば * 同型です。

A をヒルベルト空間Hに作用する C*-代数とする。ρがA ^*に含まれ、S がΦ( A ) ⁻に含まれる場合、S ρ がA ^{*のすべての}aに対してS ρ( a ) = ρ∘Φ ⁻¹ (Φ( a )S)と定義されるものとする。P が上記の可換図式の射影で、 π: A → B(H)が包含写像である場合、 ρ = P ρのときに限り、A ^{*の ρ}は超弱連続となる。A ^*の関数 ρ は、 P ρ = 0のときに特異であると言われる。A ^*の各 ρ は、 ρ _{u が}超弱連続で ρ _sが特異であるとして、 ρ=ρ _u +ρ _sの形式で一意に表現できる。さらに、||ρ||=||ρ _u ||+||ρ _s || ρ が正、つまりエルミートであれば、 ρ _u、 ρ _sについても同様です。

fとg をそれぞれC ^4mとC ⁴ⁿ上の連続実数値関数とし、 σ ₁、 σ ₂、 ...、 σ _{m を}ヒルベルト空間Hに作用するフォンノイマン代数R上の超弱連続線型関数とし、 ρ ₁、 ρ ₂、 ...、 ρ _{n を}R上の有界線型関数とし、 R内の各aに対して、

${\displaystyle f(\sigma _{1}(a),\sigma _{1}(a^{*}),\sigma _{1}(aa^{*}),\sigma _{1}(a^{*}a),\cdots ,\sigma _{m}(a),\sigma _{m}(a^{*}),\sigma _{m}(aa^{*}),\sigma _{m}(a^{*}a))}$

${\displaystyle \leq g(\rho _{1}(a),\rho _{1}(a^{*}),\rho _{1}(aa^{*}),\rho _{1}(a^{*}a),\cdots ,\rho _{n}(a),\rho _{n}(a^{*}),\rho _{n}(aa^{*}),\rho _{n}(a^{*}a)).}$

_{そして、各ρ j を}その超弱連続成分(ρ _j ) _uに置き換えれば、上記の不等式が成り立ちます。

• Kadison, Richard , 『作用素代数理論の基礎、第1巻：初等理論』、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808191 。
• Kadison, Richard , 『作用素代数理論の基礎、第2巻：上級理論』、アメリカ数学会。ISBN 978-0821808207。 
• カディソン、リチャード V. (1993)、「ハーゲルップ-ピシエの不等式について」、作用素理論ジャーナル、29 (1): 57–67、MR  1277964。