循環的および分離的ベクトル

数学において、巡回分離ベクトルの概念はフォン・ノイマン代数理論^{[1] [2]}、特に富田・竹崎理論において重要である。関連する概念は、与えられた演算子に対して巡回するベクトルの概念である。巡回ベクトルの存在は、ゲルファント・ナイマーク・シーガル（GNS）構成によって保証されている。

ヒルベルト空間 HとH内の有界線型作用素の線型空間Aが与えられたとき、線型空間A Ω = { a Ω: a ∈ A } がH内でノルム稠密である場合、 Hの元 Ω はAに対して巡回的であると言われる。 A内のaに対してa Ω = 0 であるとき、a = 0であることを意味する場合、元 Ω は分離的であると言われる 。次の点に注意:

• Hの任意の元 Ω は、p ( a ) = || a Ω|| となる半ノルム p をA上に定義します。「Ω は分離している」というステートメントは、 pが実際にはノルムであるというステートメントと同等です。
• Ω がAに対して巡回的である場合、 B ( H )におけるAの可換子A′に対してそれは分離的です。これは、 Aのすべての元と可換な H内のすべての有界演算子からなるフォン・ノイマン代数で、AはB ( H )のサブセットです。特に、a が可換子A′に属し、ある Ω に対してa Ω = 0 を満たす場合、A内のすべてのbに対して、0 = ba Ω =  ab Ωが成り立ちます 。 A内のbに対するサブスペースb Ω はヒルベルト空間Hで稠密であるため、これはHの稠密なサブスペース上でa が消えることを意味します。連続性により、これはa がどこでも消えることを意味します。したがって、 Ω はA′に対して分離的です。

Aが*-代数（随伴関数に関して閉じている代数）かつ単位元（つまり恒等演算子1を含む）である場合、次のより強い結果が成り立ちます。証明については、フォン・ノイマン代数の第 1 部第 1 章の命題 5 を参照してください。^[2]

命題A がH上の有界線型作用素の *-代数であり、1がAに属する場合、 Ω がAに対して巡回的であるためには、それが可換項A′に対して分離的である必要がある。

A がフォン・ノイマン代数である場合に特別なケースが発生し、その場合、Aに対して巡回かつ分離的であるベクトル Ω は、可換項A′に対しても巡回かつ分離的である。

*-代数A上の正の線型関数 ωは、 A内の任意の正の元aに対して、ω ( a ) = 0 が a = 0 を意味するとき、忠実であるという 。

ヒルベルト空間Hのすべての元 Ω は、 Aのすべてのaに対して、内積ω _Ω ( a ) = ( a Ω,Ω )を介して、 H上の有界線型 作用素の *-代数A上の 正の線型関数 ω Ωを定義します。ω _Ωがこのように定義され、AがC*-代数である場合、ω _{Ωが忠実であるためには、ベクトル Ω が}Aに対して分離している必要があります。フォン・ノイマン代数はC*-代数の特殊なケースであることに注意してください。

命題φとψ をAに対して巡回的なHの元とする。 ω _φ  =  ω _ψと仮定する可換点A′に等 長変換U が存在し、 φ  =  Uψとなる。