フルード数

連続体力学において、フルード数（ウィリアム・フルードにちなんでFr、/ ˈ f r uː d / ^[1]）は、流れの慣性と外部力場（多くの用途では後者は単に重力によるもの）の比として定義される無次元数です。フルード数は、彼が次のように定義した速度と長さの比に基づいています。 ^{[2] [3]} ここで、uは局所的な流速（m/s）、gは局所的な重力場（m/s ²）、Lは特性長さ（m） です。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

フルード数はマッハ数と類似している。理論流体力学では、通常、方程式は外部場が無視できる高フルード限界で考慮され、数学的側面を保存する同次方程式につながるため、フルード数はあまり考慮されない。たとえば、同次オイラー方程式は保存方程式である。しかし、造船学では、フルード数は、水中を移動する部分的に水没した物体の抵抗を決定するために使用される重要な数値である。

開水路の流れにおいて、ベルランジェは1828年に初めて流速と重力加速度の平方根と流水深の積の比を導入した。この比が1未満のとき、流れは河川運動（すなわち亜臨界流）のように振る舞い、比が1より大きいときは激流運動のように振る舞った。^[4]

浮遊物の抵抗を定量化したのは、ウィリアム・フルードとされる。フルードは一連の縮尺模型を使い、各模型が一定速度で曳航されたときにどの程度の抵抗があるかを測定した。造船技師フレデリック・リーチは、1852年に船やプロペラの試験のためにこの概念を提唱していたが、フルードはそれを知らなかった。^{[5]速度と長さの比は、もともとフルードが1868年に}比較の法則で次元的に次のように定義した。

$${\displaystyle {\text{速度–長さ比}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$ どこ：

• u = 流速
• LWL = 水線の長さ

この項は無次元項に変換され、フルードの功績を讃えて彼の名前が付けられた。フランスではフレデリック・リーチにちなんでリーチ・フルード数と呼ばれることもある。 ^[6]

フルード数が流体力学だけでなく一般連続体力学にどのように関連しているかを示すために、無次元（非次元）形式のコーシー運動量方程式から始めます。

方程式を無次元にするには、特性長さ r ₀と特性速度 u ₀を定義する必要があります。これらは、無次元変数がすべて 1 次になるように選択する必要があります。その結果、次の無次元変数が得られます。 $${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

これらの逆関係をオイラー運動量方程式に代入し、フルード数 とオイラー数を定義すると、 最終的に方程式は次のように表現されます (物質導関数を使用し、インデックスを省略します)。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

高フルード極限Fr → ∞ (外部場が無視できる場合に対応)におけるコーシー型方程式は自由方程式と呼ばれます。一方、低オイラー極限Eu → 0 (応力が無視できる場合に対応) では、一般的なコーシー運動量方程式は非同次バーガース方程式になります (ここでは物質微分 を明示的に示します)。

ストークス方程式が純粋な拡散方程式であるのと同じように、これは非同次な純粋な移流方程式です。

オイラー運動量方程式は、パスカルの法則が応力構成関係である コーシー運動量方程式です。 無次元ラグランジアン形式では次のようになります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

自由オイラー方程式は保存的です。したがって、高フルード数（低外部場）の極限は注目に値し、摂動論で研究することができます。

非圧縮ナビエ・ストークス運動量方程式は、パスカルの法則とストークスの法則が応力構成関係である コーシー運動量方程式です。 無次元対流形式では、次のようになります。 ^[7] ここで、Reはレイノルズ数です。自由ナビエ・ストークス方程式は散逸的（非保存的）です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

海洋流体力学の分野では、フルード数は通常Fnという表記で参照され、次のように定義されます。^[8] ここで、uは海と船の相対流速、gは特に重力加速度、Lは水線レベルでの船の長さ、または表記法によってはL _wlです。これは船の抗力、つまり抵抗、特に造波抵抗に関する重要なパラメータです。 $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

滑走艇の場合、水線長は速度に大きく依存するため意味がありませんが、フルード数は排水量フルード数として定義するのが最も適切であり、基準長さは船体の容積排水量の 3 乗根として取られます。 $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

津波や跳水などの浅水波の場合、特性速度Uは、流れの方向に垂直な断面で平均した平均流速です。 速度cと呼ばれる波の速度は、重力加速度gの平方根に断面積Aを掛け、自由表面の幅Bで割ったものに等しくなります。 したがって、浅瀬のフルード数は次のとおりです。 均一な深さdを持つ長方形の断面の場合、フルード数は次のように簡略化できます。 Fr < 1 の場合、流れは亜臨界流と呼ばれ、さらにFr > 1の場合、流れは超臨界流として特徴付けられます。Fr ≈ 1の場合、流れは臨界流として示されます。 $${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

吊り橋などの動的に敏感な構造物に対する風の影響を考慮する場合、構造物の振動する質量と風の変動力の複合効果をシミュレートする必要がある場合があります。このような場合、フルード数を尊重する必要があります。同様に、自然風と組み合わされた熱い煙の柱をシミュレートする場合、浮力と風の運動量の間の正しいバランスを維持するためにフルード数のスケーリングが必要です。

フルード数は、アンテロープ^[10]や恐竜^[11]を含む陸生動物^[9]の移動を研究するための相対測定法にも応用されています。

雪崩や土石流などの地球物理学的質量流は傾斜斜面で発生し、その後緩やかで平坦な流出帯に合流します。^[12]

したがって、これらの流れは、流れの間に圧力ポテンシャルエネルギーとともに重力ポテンシャルエネルギーを誘発する地形傾斜の標高に関連しています。したがって、古典的なフルード数には、この追加の効果を含める必要があります。このような状況では、フルード数を再定義する必要があります。拡張フルード数は、運動エネルギーと位置エネルギーの比として定義されます。 ここで、uは平均流速、β = gK cos ζ、（Kは土圧係数、ζは勾配）、s _g = g sin ζ、xはチャネルの下り勾配位置、はチャネルに沿った質量放出点から流れが水平基準データに当たる点までの距離です。E$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$${\displaystyle x_{d}}$^p
_ポット= βhおよびE^g
_ポット= s _g ( x _d − x )はそれぞれ圧力ポテンシャルと重力ポテンシャルエネルギーです。浅水または粒状流のフルード数の古典的な定義では、表面標高に関連するポテンシャルエネルギーE^g
_ポットは考慮されていません。拡張フルード数は、より高い地表標高に対する古典的なフルード数とは大幅に異なります。βhの項は、斜面に沿った移動質量の形状の変化から生じます。次元解析は、浅い流れに対してβh ≪ 1 である一方、uとs _g ( x _d − x )は両方とも 1 のオーダーであることを示唆しています。質量が浅く、自由表面が事実上河床に平行な場合、βh は無視できます。この状況では、重力ポテンシャルが考慮されない場合、運動エネルギーが制限されていてもFrは制限されません。したがって、重力ポテンシャルエネルギーによる追加の寄与を正式に考慮すると、 Fr の特異性は除去されます。

撹拌槽の研究では、フルード数が表面渦の形成を左右する。インペラの先端速度はωr（円運動）であり、ωはインペラ周波数（通常はrpm）、rはインペラ半径（工学では直径の方がはるかによく使用される）であるため、フルード数は次の形式をとる。フルード数 は、粉体ミキサーでも同様に適用される。これは、ブレンダーがどの混合モードで動作しているかを判断するために使用される。Fr<1の場合、粒子は単に撹拌されるが、Fr>1の場合、粉末に適用される遠心力が重力に打ち勝ち、少なくともブレンダーの一部で粒子層が流動化し、混合が促進される^[13]。$${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

ブシネスク近似の文脈で使用される場合、密度フルード数は次のように定義されます 。 ここで、g ′は換算重力です。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$$${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

密度フルード数は、通常、速度の好みを、成層せん断層を考慮するときによく使用されるリチャードソン数よりも無次元化したいモデル作成者によって好まれます。たとえば、重力流の先端は、前方フルード数が約 1 の状態で移動します。

フルード数は、動物の歩行パターンの傾向を研究するために使用できます。脚運動のダイナミクスの分析では、歩行肢はしばしば倒立振り子としてモデル化され、質量の中心は足を中心とする円弧を通過します。^[14]フルード数は、運動の中心である足の周りの向心力と、動物の歩行の重量の比です。 ここで、mは質量、lは特性長さ、gは重力加速度、vは速度です。特性長さlは、手元の研究に合わせて選択できます。たとえば、いくつかの研究では、地面からの股関節の垂直距離が使用され、^[15]他の研究では、脚の全長が使用されています。^{[14] [16]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

フルード数は歩幅周波数fから次のように計算することもできる: ^[15] $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

脚の全長を特徴的な長さとして使用する場合、歩行の理論的な最大速度はフルード数が 1.0 になります。これより高い値では、足が地面から離れ、離陸してしまうためです。二足歩行から走行への典型的な遷移速度は、Fr ≈ 0.5で発生します。^[17] RM Alexander は、サイズや質量が異なる動物が異なる速度で移動しているが同じフルード数の場合、一貫して同様の歩行を示すことを発見しました。この研究では、動物は通常、フルード数が 1.0 前後で、のんびりとした歩行から対称的な走行歩行 (例: 速歩または歩調) に切り替えることがわかりました。フルード数が 2.0 から 3.0 の場合、非対称な歩行 (例: キャンター、横方向のギャロップ、回転ギャロップ、バウンド、またはプロンク) が好まれることが観察されました。^[15]

フルード数は、さまざまなサイズや形状の物体間の造波抵抗を比較するために使用されます。

自由表面流れでは、流れの性質（超臨界または亜臨界）は、フルード数が 1 より大きいか小さいかによって決まります。

キッチンやバスルームのシンクでは、「臨界」フローのラインが簡単にわかります。蛇口を栓を抜いたままにしておきます。水流がシンクに当たる場所の近くでは、流れは超臨界です。水は表面を「抱きしめて」素早く移動します。流れのパターンの外側の端では、流れは亜臨界です。この流れはより濃く、よりゆっくりと移動します。2 つの領域の境界は「水力ジャンプ」と呼ばれます。ジャンプは、流れがちょうど臨界でフルード数が 1.0 になるところから始まります。

フルード数は、動物が異なる歩行パターンを使用する理由をよりよく理解するために動物の移動傾向を研究するために使用されてきました^[15]。また、絶滅した種の歩行についての仮説を立てるためにも使用されています^{[16] 。}

さらに、粒子層の挙動はフルード数（Fr）によって定量化され、最適な動作ウィンドウを確立することができる。^[18]

• 流速 – 連続体の動きを数学的に記述するために使用されるベクトル場
• 体積力 – 物体の体積全体に作用する力
• コーシー運動量方程式
• バーガース方程式 – 偏微分方程式
• オイラー方程式（流体力学）  – 断熱流れと非粘性流れを支配する準線型双曲方程式のセット
• レイノルズ数 – 液体に作用する慣性力と粘性力の比

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf