リチャードソン数

リチャードソン数（Ri ）は、ルイス・フライ・リチャードソン（1881-1953）にちなんで名付けられました。 ^[1] これは、浮力項と流れせん断項の比を表す無次元数です。^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\text{浮力項}}{\text{流れせん断項}}}={\frac {g}{\rho }}{\frac {\partial \rho /\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}}$

ここで、は重力、は密度、は代表的な流速、は深さです。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z}$

リチャードソン数、またはいくつかの変形の 1 つは、天気予報や、海洋、湖沼、貯水池の密度流と濁度流の調査において実用的な重要性を持っています。

密度差が小さい流れ（ ブシネスク近似）を考慮する場合、縮減重力 g'を使用するのが一般的であり、関連するパラメータは密度リチャードソン数である^{[さらなる説明が必要]}

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {-\partial g'/\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}}$

これは大気や海洋の流れを考えるときによく使われます^[要出典]。

リチャードソン数が 1 よりはるかに小さい場合、流れにおける浮力は重要ではありません。リチャードソン数が 1 よりはるかに大きい場合、浮力が支配的になります (流体を均質化するための運動エネルギーが不十分であるという意味です)。

リチャードソン数が 1 のオーダーである場合、流れは浮力駆動である可能性が高くなります。つまり、流れのエネルギーは、もともとシステム内の 位置エネルギーから生じます。

航空学では、リチャードソン数は予想される乱気流の大まかな尺度として使用されます。値が低いほど乱気流の度合いが大きいことを示します。10 から 0.1 の範囲の値が一般的であり^{[引用が必要]}、1 未満の値は著しい乱気流を示します。

熱対流問題において、リチャードソン数は強制対流に対する自然対流の重要性を表す。この文脈におけるリチャードソン数は次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {g\beta (T_{\text{hot}}-T_{\text{ref}})L}{V^{2}}}}$

ここで、gは重力加速度、は熱膨張係数、T _hotは高温壁温度、T _{ref は}基準温度、Lは特性長さ、V は特性速度です。 ${\displaystyle \beta}$

リチャードソン数はグラスホフ数とレイノルズ数の組み合わせで表すこともできる。

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}.}$

通常、Ri < 0.1 の場合、自然対流は無視でき、Ri > 10 の場合、強制対流は無視でき、0.1 < Ri < 10 の場合、どちらも無視できません。通常、強制対流は、強制流速が極端に低い場合を除き、自然対流に比べて大きいことに注意してください。ただし、浮力は、混合対流の層流から乱流への遷移を定義する上で重要な役割を果たすことがよくあります。^[3]水を満たした熱エネルギー貯蔵タンクの設計では、リチャードソン数が役立ちます。^[4]

大気科学では、リチャードソン数を表すいくつかの異なる表現が一般的に使用されています。フラックス リチャードソン数 (基本)、勾配リチャードソン数、およびバルク リチャードソン数です。

• フラックスリチャードソン数は、乱流運動エネルギーの浮力による生成（または抑制）とせん断による乱流生成の比です。 ^[5]数学的には、次のようになります。${\displaystyle Ri_{f}}$

${\displaystyle Ri_{f}={\frac {(g/T_{v}){\overline {w'\theta '}}}{{\overline {u'w'}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}+{\overline {v'w'}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}}}}}$、

ここで、は仮想温度、は仮想温位、は高度、は風の成分、は風の成分、 は風の（垂直）成分です。プライム記号（例： ）は、それぞれの場のレイノルズ平均からの偏差を表します。 ${\displaystyle T_{v}}$${\displaystyle \theta_{v}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w'}$

• 勾配リチャードソン数は、「K理論」を用いてフラックスリチャードソン数を近似することによって得られる。その結果は次のようになる。^[6]${\displaystyle Ri_{g}}$

${\displaystyle Ri_{g}={\frac {(g/T_{v}){\frac {\partial \theta _{v}}{\partial z}}}{({\frac {\partial u} {\partial z}})^{2}+({\frac {\partial v}{\partial z}})^{2}}}}$。

• バルクリチャードソン数は、勾配リチャードソン数の式の導関数を有限差分近似することで得られ、次のようになる。 ^[7]${\displaystyle Ri_{b}}$

${\displaystyle Ri_{b}={\frac {(g/T_{v0})\Delta \theta _{v}\Delta z}{(\Delta u)^{2}+(\Delta v)^{ 2}}}}$。

ここで、任意の変数 に対して、 、つまり高度と高度の差です。下限基準レベルを とすると、 （無滑り境界条件により）となるため、式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta f:=f_{z1}-f_{z0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z1}$${\displaystyle z0}$${\displaystyle z0=0}$${\displaystyle u_{z0}=v_{z0}=0}$

${\displaystyle Ri_{b}={\frac {(g/\theta _{v0})(\theta _{vz1}-\theta _{v0})z}{(u_{z1})^{2} +(v_{z1})^{2}}}}$。

海洋学では、リチャードソン数は成層を考慮したより一般的な形式^{[要出典]をとる。これは、}テイラー・ゴールドスタイン方程式で説明される、水柱における機械的効果と密度効果の相対的な重要性の尺度であり、せん断流によって引き起こされるケルビン・ヘルムホルツ不安定性をモデル化するのに使用される。

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {N^{2}}{(\mathrm {d} u/\mathrm {d} z)^{2}}}}$

ここで、NはBrunt-Väisälä 周波数、u は風速です。

上記で定義したリチャードソン数は常に正とみなされます。N² の負の値(つまり複素N )は、対流が活発に起こる不安定な密度勾配を示します。このような状況では、負の Ri の大きさは一般には重要ではありません。Ri < 1/4 は、成層流体が成層したままになる傾向を速度せん断が克服するために必要な条件であり、一般にいくらかの混合 (乱流) が発生します。Ri が大きい場合、成層を横切る乱流混合は一般に抑制されます。^[8]