重力流

流体力学において、重力流または密度流は、重力場における主に水平方向の流れであり、流体の密度差によって駆動され、天井などによって水平方向に流れるように制約される。通常、密度差はブシネスク近似が有効なほど小さい。重力流は、火山の噴火による火砕流のように体積が有限であるもの、または冬に家の開いたドアから出る暖かい空気のように、発生源から継続的に供給されるもののいずれかと考えられる。 [ ^1]その他の例としては、砂嵐、混濁流、雪崩、廃水または工業プロセスからの河川への排出、河川からの海洋への排出などがある。^{[2] [3]}

重力流は、通常、高さよりもはるかに長い。主に垂直な流れはプルームと呼ばれる。その結果、（次元解析を使用して）流れの垂直速度は一般に水平速度よりもはるかに小さいことが示され、圧力分布は、先端付近を除いてほぼ静水圧である。重力流は、不連続として動作する先端に対して特別な配慮をした浅水方程式によってシミュレートすることができる。 ^[1]重力流が成層した周囲流体内の中性浮力面に沿って伝播する場合、それは重力流侵入と呼ばれる。

重力流は、ある密度の流体が別の密度の上または下を流れる流れを表しますが、通常は伝播する流体に焦点が当てられます。重力流は、有限体積の流れまたは連続流のいずれかから発生する可能性があります。後者の場合、頭部の流体は絶えず入れ替わるため、重力流は理論上は永久に伝播することができます。連続流の伝播は、非常に長い有限体積の尾部（または胴体）の伝播と同じであると考えることができます。重力流は、頭部と尾部の 2 つの部分で構成されると説明されます。重力流の先端である頭部は、比較的大量の周囲の流体が移動する領域です。尾部は、頭部に続く流れの大部分です。流れの特性は、フルード数とレイノルズ数によって特徴付けられます。これらは、それぞれ流速と重力（浮力）および粘性の比を表します。^[3]

ヘッドの伝播は通常 3 つのフェーズで発生します。最初のフェーズでは、重力流の伝播は乱流です。流れは、ケルビン ヘルムホルツ不安定性と呼ばれるうねりパターンを示します。これはヘッドの後流で形成され、周囲の流体を尾部に巻き込みます。このプロセスは「エントレインメント」と呼ばれます。ヘッドの前面では、ヘッドの表面に形成されるローブとクレフト構造を介して直接混合も発生します。1 つのパラダイムによると、重力流の先端は、その後ろの流れを「制御」します。つまり、流れの境界条件を提供します。このフェーズでは、流れの伝播速度は時間に対してほぼ一定です。多くの重要な流れでは、先端は約 1 のフルード数で移動します。正確な値の推定値は約 0.7 から 1.4 の範囲です。^[4] 駆動流体が環境に広がる電流の結果として枯渇すると、駆動ヘッドは流れが層流になるまで減少します。この段階では、混合はほとんど起こらず、流れのうねり構造は消えます。この段階以降、伝播速度は時間とともに低下し、流れは徐々に遅くなります。最終的に、流れがさらに広がると、流れは非常に細くなり、侵入する流体と周囲および境界との間の粘性力が流れを支配します。この段階では、混合は発生せず、伝播速度はさらに遅くなります。^{[4] [5]}

重力流の広がりは境界条件に依存し、通常は初期放出が環境と同じ幅であるかどうかによって 2 つのケースが区別されます。幅が同じ場合、通常「ロック交換」または「回廊」フローと呼ばれるものが得られます。これは、両側の壁に沿って広がり、伝播中に実質的に一定の幅を維持するフローを指します。この場合、フローは実質的に 2 次元です。このフローのバリエーションに関する実験は、狭まる/広がる環境で伝播するロック交換フローで行われています。実質的に、狭まる環境では、流れが進むにつれてヘッドの深さが増し、それによって伝播速度が時間とともに増加しますが、広がる環境では逆のことが起こります。他のケースでは、流れはソースから放射状に広がり、「軸対称」フローを形成します。広がりの角度は放出条件に依存します。自然界では非常にまれな現象であるポイントリリースの場合、広がりは完全に軸対称になりますが、その他の場合は電流がセクターを形成します。

重力流が固体境界に遭遇すると、その周囲を流れるか境界上を流れることによって境界を克服するか、境界によって反射されるかのいずれかになります。衝突の実際の結果は、主に障害物の高さと幅によって決まります。障害物が浅い場合 (一部)、重力流は障害物の上を流れることによって障害物を克服します。同様に、障害物の幅が狭い場合、重力流は岩の周囲を川が流れるように、障害物の周囲を流れます。障害物を克服できない場合、伝播が乱流段階にあると仮定すると、重力流は最初に障害物に沿って垂直に上昇 (または密度のコントラストに応じて下降) します。このプロセスは「スロッシング」と呼ばれます。スロッシングは周囲と流れの間で大量の混合を引き起こし、これにより障害物に対してより軽い流体が蓄積されます。障害物に対してますます多くの流体が蓄積されるにつれて、これは最初の流れとは反対方向に伝播し始め、実質的に元の重力流の上に 2 番目の重力流が流れることになります。この反射プロセスは、重力流が有限サイズの空間に流れ込む出入り口流（下記参照）の一般的な特徴です。この場合、流れは空間の端の壁に繰り返し衝突し、反対側の壁の間を行き来する一連の流れを引き起こします。このプロセスは、レーン・サーフによって詳細に説明されています。^[6]

重力流の伝播に関する最初の数学的研究は、TBベンジャミンによるものと考えられる。^[7] 異なる密度の流体間の侵入や衝突の観察は、TBベンジャミンの研究よりかなり前に行われており、例えばエリソンとチューナー^[8] 、 MBアボット^[9] 、DIHバー^[10]によるものなどがある。 英国ケンブリッジ大学応用数学・理論物理学部のJEシンプソンは、重力流に関する長年の研究を行い、このテーマに関する多数の論文を発表した。彼は 1982年に流体力学年次レビュー^{に、当時の重力流の分野の研究状況をまとめた論文[11]}を発表した。シンプソンはこのテーマに関するより詳細な本も出版した。^[12]

重力流は、物質を大きな水平距離にわたって輸送することができます。たとえば、海底の混濁流は物質を数千キロメートルも運ぶことがあります。重力流は、自然界全体でさまざまな規模で発生します。例としては、雪崩、ハブーブ、海底混濁流、^[13]、 ラハール、火砕流、溶岩流などがあります。また、密度の変化が大きい重力流、いわゆる低マッハ数圧縮性流もあります。このような重力流の例としては、大気中の重いガスの拡散があり、ガス密度と大気の密度の初期比は約 1.5 ～ 5 です。

重力流は、建築環境において出入り口の流れという形で頻繁に発生します。これは、ドア（または窓）が異なる温度の 2 つの部屋を隔て、空気の交換が行われる場合に発生します。これは、たとえば、冬に暖房の効いたロビーに座っていて、玄関のドアを突然開けたときに経験できます。この場合、外気が重力流として部屋の床に沿って伝播するため、最初に足元で冷たい空気を感じます。出入り口の流れは、自然換気や空調/冷蔵の分野で関心を集めており、広範囲に調査されています。^{[14] [15] [16]}

有限体積の重力流の場合、おそらく最も単純なモデリング手法はボックス モデルを使用することです。このモデルでは、"ボックス" (2D 問題の場合は長方形、3D の場合は円筒) を使用して流を表現します。ボックスは回転したり、せん断したりしませんが、流れが進むにつれてアスペクト比が変わります (つまり、伸びます)。ここでは、問題のダイナミクスが大幅に簡素化され (つまり、流れを制御する力は直接考慮されず、その影響のみが考慮される)、通常はフルード数と質量の全体的保存を示す方程式を介して前面の動きを指示する条件に簡略化されます (つまり、2D 問題の場合)。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Fr} &={\frac {u_{\mathrm {f} }}{\sqrt {g'h}}}\\hl&=Q\end{aligned}}}$

ここで、Frはフルード数、u _fは前部の速度、g ′は減少した重力、hは箱の高さ、lは箱の長さ、Q は単位幅あたりの体積です。このモデルは、流れに沿ったhがまったく一定ではない重力流の初期の沈下段階、または摩擦が重要になりFr を変える重力流の最終粘性段階では、良い近似ではありません。このモデルは、これらの間の段階では良い近似であり、前部のフルード数は一定で、流れの形状の高さはほぼ一定です。

沈降などによって侵入流体の密度が変化するプロセスについては、追加の方程式を指定できます。前面条件 (フルード数) は一般に分析的に決定することはできませんが、実験または自然現象の観察から見つけることができます。フルード数は必ずしも定数ではなく、流入の高さが上にある流体の深さと同等である場合は、流入の高さに依存する場合があります。

この問題の解は、u _f = ⁠であることに注目することで見つかります。ダウンロード/dt⁠初期長さl _{0について積分すると、体積}Qとフルード数Frが一定の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle l^{\frac {3}{2}}=l_{0}^{\frac {3}{2}}+{\tfrac {3}{2}}\mathrm {Fr} {\sqrt {g'Q}}\,t\,.}$

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