4頂点定理

幾何学において、4 頂点定理は、単純で閉じた滑らかな平面曲線に沿った曲率には少なくとも4つの極値(具体的には、少なくとも 2 つの極大値と少なくとも 2 つの極小値) があることを述べています。定理の名前は、曲率関数の極値点を頂点と呼ぶ慣例に由来しています。この定理には多くの一般化があり、頂点が捩れが消失する点として定義される空間曲線のバージョンもその 1 つです。

平面上の滑らかな曲線の任意の点における曲率は、その点における接触円の半径の逆数として、または曲線 に沿った長さ と一貫してパラメータ化された曲線のパラメータ表現の2 次導関数のノルムとして定義できます。^[1]曲線の頂点が明確に定義されるためには、曲率自体が連続的に変化する必要があります。^[2]これは滑らかな曲線の場合に起こります。^[3]この場合、頂点は曲率の極大値または極小値です。曲率が曲線の円弧上で一定である場合、その円弧のすべての点は頂点と見なされます。4 頂点定理は、滑らかな閉曲線には常に少なくとも 4 つの頂点があることを述べています。 ${\displaystyle C^{2}}$

楕円にはちょうど 4 つの頂点があります。楕円の長軸が交差する 2 つの曲率極大値と、短軸が交差する 2 つの曲率極小値です。円では、すべての点が曲率の極大値と極小値の両方であるため、頂点の数は無限にあります。^[3]滑らかな閉曲線が円を 回交差する場合、少なくとも頂点があるため、楕円などのちょうど 4 つの頂点を持つ曲線は、どの円とも最大 4 回交差できます。^[4]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

一定幅の曲線には、少なくとも6つの頂点があります。ルーローの三角形など、一定幅の曲線の多くは滑らかでなかったり、境界に円弧があったりしますが、正確に6つの頂点を持つ滑らかな一定幅の曲線も存在します。^{[5] [6]}

滑らかな曲線の頂点は、その曲線の曲率中心によって形成される曲線である縮閉線の尖点に対応します。したがって、滑らかな閉曲線の縮閉線には少なくとも4つの尖点があります。^[7]

四頂点定理は、1909年にシャマダス・ムコパディヤヤによって凸曲線（すなわち、厳密に正の曲率を持つ曲線）に対して初めて証明されました。^[8]彼の証明は、曲線上の点が曲率関数の極値となるのは、その点の接触円が曲線と4次接触する場合のみであるという事実を利用しています。一般に、接触円は曲線と3次接触しか持ちません。四頂点定理は、 1912年にアドルフ・クネーザーによって射影的議論を用いてより一般的な曲線に対して証明されました。^[9]

4頂点定理の証明は長年難しいままでしたが、最小外接円^[10]のアイデアに基づいて、オッサーマン（1985）によってシンプルで概念的な証明が与えられました。これは、与えられた曲線を含み、可能な限り最小の半径を持つ円です。曲線が円の弧を含む場合、曲線は無限数の頂点を持ちます。そうでない場合、曲線と円は少なくとも2点で接している必要があります。これは、曲線に接する点が少ない円は、曲線を囲みながらサイズを小さくできるためです。各接点において、曲線の曲率は円の曲率よりも大きくなります。そうでなければ、曲線は円の内側ではなく外側の接点から継続することになります。しかし、各接点のペアの間では、曲率は円の曲率よりも小さくなる必要がある。例えば、2つの接点の間の曲線の一部がなくなるまで円を平行移動し、平行移動した円と曲線の最後の接点を考慮すると、曲率は小さくなる。したがって、各接点のペアの間には曲率の極小値があり、4つの頂点のうち2つが得られる。各極小値ペア（必ずしも接点ではない）の間には曲率の極大値があり、他の2つの頂点が得られる。^{[10] [3]}

4 頂点定理の逆は、少なくとも 2 つの極大値と 2 つの極小値を持つ円の連続した実数値関数は、単純な閉じた平面曲線の曲率関数であるということを述べています。この逆は、n 球面の曲率を事前に割り当てることに関する一般定理の特殊なケースとして、1971 年に Herman Gluck によって厳密に正の関数に対して証明されました。[ 11 ] 4^頂点定理の完全な逆は、Björn Dahlberg  [de]によって1998 年 1 月の彼の死の直前に証明され、死後に出版されました。^[12] Dahlberg の証明では、代数の基本定理の標準的な位相的証明をいくつかの点で彷彿とさせる巻き数議論が使用されています。^[13]

この定理の帰結の1 つは、重力下で水平面上を転がる均質な平面円盤には、少なくとも 4 つの平衡点があるということです。この定理の離散バージョンは、モノスタティック多角形は存在しないということです。ただし、3 次元にはモノスタティック多面体が存在し、また、ちょうど 2 つの平衡点 (1 つは安定で、もう 1 つは不安定) を持つ凸状の均質なオブジェクトであるGömböcも存在します。

4頂点定理には、凸多角形と非凸多角形の両方に対して、いくつかの離散バージョンがあります。この文脈では、多角形の頂点（2辺の共有端点）の概念と滑らかな曲線の頂点を区別することが重要です。^[7]

多角形は、4 つの頂点が共円になっていない場合、汎用的であるとされ、連続する辺の各ペアについて、 3 つの頂点の外心が2 つの辺で形成されるくさびの内側にある場合、整合的であるとされる。つまり、整合的な多角形では、これらの 3 つの頂点で形成される三角形が、2 つの辺のうちの 1 つを最長辺とする鈍角になることは許されない。少なくとも 4 つの頂点を持つ整合的な凸多角形の場合、連続する 3 つの頂点の外接半径の循環シーケンスには、少なくとも 2 つの極大値と 2 つの極小値がある。^[14]局所的な端点にある中央の頂点は、極値頂点と呼ばれる。その外接円とその 2 つの近傍の外接円には、中心の頂点から 2 ステップ離れた両方の頂点が含まれるか、どちらも含まれないかのいずれかである。したがって、すべての汎用的な整合凸多角形には少なくとも 4 つの極値頂点があり、整合を仮定しなくてもこのことは成り立つ。^[15]凸多角形の頂点の角度には必ずしも4つの極値があるわけではありません。しかし、すべての辺の長さが等しい一般的な凸正多角形の場合、角度には少なくとも2つの極小値と少なくとも2つの極大値が存在します。^[16]

多角形の連続する頂点の三つ組の外接円の代わりに、連続する辺の三つ組の内接円を考えることもできます。この場合も、同様の結果が得られます。たとえば、一般的な等角多角形、つまりすべての角度が等しい凸多角形の場合、辺の長さには少なくとも 2 つの極小値と少なくとも 2 つの極大値が存在します。^[17]

一度穴を開けた球面から平面への立体射影は、測地曲率の臨界点を保存する。したがって、単純な閉じた球面曲線は4つの頂点を持つ。さらに、球面上では曲線の頂点はそのねじれが消える点に対応する。したがって、空間曲線の場合、頂点はねじれが消える点として定義される。凸体の境界上にあるすべての単純な閉じた空間曲線は4つの頂点を持つ。^[18]この定理は、局所的に凸な円板を囲むすべての曲線に一般化できる。^[19]

• ヤコビの最後の幾何学的記述
• テニスボール定理