パス空間ファイブレーション

代数トポロジーにおいて、点付き空間上のパス空間ファイブレーション${\displaystyle (X,*)}$^{[ 1 ]は[ 2 ]}の形のファイブレーションです

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}$

どこ

• ${\displaystyle PX}$は、指し示す空間の基底パス空間である。${\displaystyle (X,*)}$つまり、${\displaystyle PX=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{連続}},f(0)=*\}}$コンパクトオープン型トポロジーを搭載。
• ${\displaystyle \Omega X}$繊維は${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$基点を超えて${\displaystyle (X,*)}$;したがって、それはループ空間である${\displaystyle (X,*)}$。

Xの自由経路空間、すなわち、${\displaystyle \operatorname {Map} (I,X)=X^{I}}$は、必ずしも基点から始まるとは限らない、IからXへのすべてのマップとファイブレーションから構成されます。${\displaystyle X^{I}\to X}$例えば、${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$これは自由経路空間ファイブレーションと呼ばれます。

経路空間ファイブレーションは、写像錐と双対であると理解できる。基底ファイブレーションのファイバーは、写像ファイバー、または同等にホモトピーファイバーと呼ばれる。

もし${\displaystyle f\colon X\to Y}$が任意のマップである場合、マッピングパス空間${\displaystyle P_{f}}$の${\displaystyle f}$ファイブレーションの引き戻し$\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$平行${\displaystyle f}$（写像パス空間は、写像シリンダーの双対であるプッシュアウトという普遍性を満たす。このため、写像パス空間は写像コシリンダーとも呼ばれる。^{[ 3 ]}）

ファイブレーションはファイブレーションに戻るので、Yが基底であれば、ファイブレーションが得られます。

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

どこ${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$そして${\displaystyle F_{f}}$ホモトピーファイバーは、ファイブレーションの引き戻しである。${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y}$平行${\displaystyle f}$。

また、${\displaystyle f}$構成は

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

最初の地図${\displaystyle \phi }$xを送信${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$; ここ${\displaystyle c_{f(x)}}$値を持つ定数パスを表します${\displaystyle f(x)}$。 明らかに、${\displaystyle \phi }$はホモトピー同値です。したがって、上記の分解は、任意の写像がホモトピー同値を除いてファイブレーションであることを示しています。

もし${\displaystyle f}$最初はファイブレーションで、次にマップ${\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}$これはファイバーホモトピー同値であり、したがって^{[ 4 ]}のファイバーは${\displaystyle f}$基点のパス成分上のホモトピーはホモトピーファイバーと同値である${\displaystyle F_{f}}$の${\displaystyle f}$。

定義により、空間X内のパスは単位区間IからXへの写像である。定義により、2 つのパスの積は${\displaystyle \alpha ,\beta }$そのため${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$道は${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$提供元:

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}}$。

この製品は、一般的に言って、鼻に響くような連想を呼び起こすことができない。${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}$直接見ればわかる。この失敗に対する一つの解決策は、ホモトピー類に渡すことである。${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$別の解決策としては、任意の長さのパスを扱う方法があり、これは後述するムーアのパス空間とムーアのパス空間ファイブレーションの概念につながります。^{[ 5 ]}（より洗練された解決策は、構成を再考することです。任意の構成のファミリーを扱うのです。オペラドの概念につながるルーリーの論文^{[ 6 ]}の序論を参照してください。）

ベース空間が与えられた場合${\displaystyle (X,*)}$私たちは

${\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

この集合の要素fは一意の拡張を持つ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$間隔まで${\displaystyle [0,\infty )}$そのため${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$したがって、この集合は の部分空間として識別できる。${\displaystyle \operatorname {Map} ([0,\infty ),X)}$結果として得られる空間は、この概念を導入したジョン・コールマン・ムーアにちなんで、Xのムーア経路空間と呼ばれます。そして、以前と同様に、ムーア経路空間のファイブレーションが存在します。

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}$

pが各${\displaystyle f:[0,r]\to X}$に${\displaystyle f(r)}$そして${\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}$繊維です。${\displaystyle \Omega X}$そして${\displaystyle \Omega 'X}$これらはホモトピー同値である。

次に、製品マップを定義します。

${\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

作成者:${\displaystyle f\colon [0,r]\to X}$そして${\displaystyle g\colon [0,s]\to X}$、

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}}$。

この積は明らかに結合的です。特に、μ をΩ ' X × Ω ' Xに制限すると、Ω ' Xは位相モノイド(すべての空間のカテゴリ内) になります。さらに、このモノイド Ω ' X は元のμを介してP ' Xに作用します。実際、${\displaystyle p:P'X\to X}$これはΩ'Xファイブレーションである。^{[ 7 ]}

• デイビス、ジェームズ・F.、カーク、ポール（2001）。代数トポロジー講義ノート（PDF）。大学院数学研究。第 35巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。pp .  xvi+367。doi ：10.1090/gsm/ 035。ISBN 0-8218-2160-1. MR 1841974 . 
• May, J. Peter (1999).代数トポロジー入門(PDF) . シカゴ数学講義シリーズ. シカゴ、イリノイ州:シカゴ大学出版局. pp. x+243. ISBN  0-226-51182-0. MR 1702278 . 
• ホワイトヘッド、ジョージ・W. (1978).ホモトピー理論の基礎.大学院数学テキスト. 第61巻 (第3 版). ニューヨーク-ベルリン:シュプリンガー・フェルラーク. pp.  xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508 .