双曲偏微分方程式

数学において、次双曲型偏微分方程式は、大まかに言えば、1次導関数に対して適切に配置された初期値問題を持つ偏微分方程式(PDE)です。 ^{[出典が必要]}より正確には、コーシー問題は、任意の非特性超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことができます。力学方程式の多くは双曲型であるため、双曲型方程式の研究は今日大きな関心事です。モデルとなる双曲型方程式は波動方程式です。1 つの空間次元では、これは 次のようになります。方程式には、 u とその 1 次時間導関数が直線 t = 0 上の任意に指定された初期データ (十分な滑らかさを持つ) である場合、 すべての時間tに対して解が存在するという特性があります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

双曲型方程式の解は「波状」です。双曲型微分方程式の初期データに乱れが生じても、空間のすべての点が同時に乱れを感じるわけではありません。固定された時間座標に対して、乱れの伝播速度は有限です。乱れは方程式の特性に沿って伝わります。この特徴により、双曲型方程式は楕円偏微分方程式や放物型偏微分方程式と質的に区別されます。楕円型または放物型方程式の初期 (または境界) データの乱れは、基本的に領域内のすべての点で同時に感じられます。

双曲性の定義は基本的に定性的なものですが、検討中の微分方程式の特定の種類に依存する正確な基準があります。 線形微分演算子については、ミクロ局所解析の文脈で、 Lars Gårdingによるよく発達した理論があります。 非線形微分方程式は、その線形化が Gårding の意味で双曲的である場合に双曲的です。保存則のシステムから派生した 1 階の方程式システムについては、多少異なる理論があります。

偏微分方程式は、を通る非特性超曲面上に与えられた任意の初期データに対して、の近傍でコーシー問題が一意に解けることを条件として、点で双曲型である。^[1] ここで、所定の初期データは、微分方程式の次数より1小さい次までの、曲面上の関数のすべての（横方向）導関数から構成される。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

変数の線形変換により、 の形の 任意 の方程式は、方程式の質的な理解に重要でない低次の項を除いて、波動方程式 に変換できます。 ^{[2] : 400}この定義は、平面双曲線 の定義に類似しています。 $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(低次の微分項)}}=0}$$$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

1次元波動方程式は 双曲型方程式の一例である。2次元および3次元波動方程式も双曲型偏微分方程式の範疇に入る。このタイプの2階双曲型偏微分方程式は、1階微分方程式の双曲型システムに変換することができる。^{[2] : 402}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

以下は、未知の関数、についての 1 階偏微分方程式のシステムです。ここで、${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

ここで、は連続的に微分可能な関数であり、一般には非線形です。 ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$

次に、それぞれに対してヤコビ行列を定義する。${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$${\displaystyle s\times s}$ $${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

系( ∗ )が双曲型であるとは、すべての行列が実固有値 のみを持ち、対角化可能である場合である。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

行列がs個の異なる実固有値を持つ場合、その行列は対角化可能であるといえます。この場合、系( ∗ )は厳密に双曲的であると呼ばれます。 ${\displaystyle A}$

行列が対称であれば、対角化可能であり、固有値は実数になります。この場合、系 ( ∗ ) は対称双曲型と呼ばれます。 ${\displaystyle A}$

双曲系と保存則の間には関係がある。1つの未知の関数に対する1つの偏微分方程式の双曲系を考える。すると、系( ∗ )は次の形式になる。 ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

ここで、は、によって与えられるフラックスに従って移動する量として解釈できる。量が保存されることを確認するには、領域上で( ∗∗ )を積分する。${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

および が十分に滑らかな関数である場合、発散定理を使用して積分 および の順序を変更することで、一般形 の 量に対する保存則を得ることができます。これは、領域 の 時間変化率が、その境界 を通る の正味のフラックス に等しいことを意味します。これは等式であるため、 は内で保存されると結論付けることができます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\vec {f}}}$${\displaystyle \partial /\partial t}$${\displaystyle u}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Omega }$

• 楕円偏微分方程式
• 準楕円演算子
• 放物型偏微分方程式

• AD ポリアニン著『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』、Chapman & Hall/CRC Press、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9 

• 「双曲型偏微分方程式、数値計算法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• EqWorld の線形双曲方程式: 数学方程式の世界。
• EqWorld の非線形双曲方程式: 数式の世界。