照明の問題

照明問題は、点光源による鏡張りの壁のある部屋の照明を研究する数学の問題の一種です。

元々の定式化は 1950 年代にエルンスト・シュトラウスによってなされ、解決されました。シュトラウスは、鏡張りの壁のある部屋が、鏡張りの壁で光が繰り返し反射することを考慮に入れて、常に単一の点光源で照らされるかどうかを尋ねました。あるいは、この質問は、ビリヤード台を任意の形状に作ることができる場合、ボールが点状であり、摩擦によって止まることなく無限に続くと仮定して、ビリヤードのボールを別の点に打つことが不可能な点が存在するような形状は可能か、と問うているとも言えます。

元々の問題は、楕円を使ってペンローズの照明不可能な部屋を形成することで、1958 年にロジャー ペンローズによって初めて解決されました。彼は、単一の点光源のみで照らされた場合、必ず暗い領域が存在する曲面壁の部屋が存在することを示しました。

この問題は、1995年にジョージ・トカルスキーによって2次元と3次元の多角形の部屋でも解決され、繰り返し反射しても部屋の他の点から照らされない「暗い点」がある、照らされない多角形の26面体部屋が存在することが示されました。 ^[1]これらは、点光源の固定位置からのみ照らされない有限数の暗い点（領域ではなく）であるまれなケースでした。

1995年、トカルスキーは4つの辺と2つの固定された境界点を持つ最初の多角形の照明不可能な部屋を発見した。 ^[2]彼はまた1996年に、2つの異なる内部点を持つ20辺の照明不可能な部屋を発見した。1997年、ジョージ・トカルスキーとデビッド・カストロはそれぞれ、同じ特性を持つ2つの異なる24辺の部屋を提案した。^{[3] [4]}

2016年、サミュエル・ルリエーヴル、ティエリー・モンテイル、バラク・ワイスは、多角形の部屋にある光源の角度（度）がすべて有理数の場合、有限個の点を除いて多角形全体を照らすことを示しました。^[5] 2019年には、アミット・ウォレツキによってこの理論が強化され、ウォレツキは、このような多角形ごとに、互いに照らさない点のペアの数は有限であることを示しました。^[6]

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  1995 年、4 辺を持つ最初の多角形のトカルスキー非照明室。この部屋でのビリヤード ボールの軌道を示すビデオ。
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  24 面を持つオリジナルのトカルスキー非照明室、1995 年。この部屋でのビリヤード ボールの軌道を示すビデオ。
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  20 面の照明のない部屋、1996 年。この部屋でのビリヤード ボールの軌道を示すビデオ。
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  27 面の奇数面トカルスキー非照明室、1996 年。この部屋でのビリヤード ボールの軌道を示すビデオ。

• ハドヴィガー予想（照明による代替定式化）

• 「照明の問題 - Numberphile」、YouTubeのNumberphileによる、2017 年 2 月 28 日
• 「ペンローズの照らせない部屋は光らせることができない」、スティーブ・モールドによるYouTube 動画、2022 年 5 月 19 日
• 「ペンローズの照らせない部屋ではキノコの形は重要ではない」、ニルス・ベルグルンドによるYouTube、2022 年 8 月 13 日
• 「トカルスキーのオリジナルの24面の照明のない部屋」、YouTubeのジョージ・トカルスキーによる動画、2022 年 6 月 16 日
• 「エジプトの象形文字：トカルスキーの奇妙な光らない部屋」、YouTubeでジョージ・トカルスキーが 2022 年 7 月 15 日に公開
• 「ユーレカ！初の多角形の照らされない部屋」、ジョージ・トカルスキーによるYouTube 動画、2022 年 7 月 29 日
• Wolframデモンストレーションプロジェクトのインタラクティブなデモンストレーション