フェルミ・ウラムモデル

フェルミ・ウラムモデル（FUM）は、 1961年にポーランドの数学者スタニスワフ・ウラムによって提唱された力学系である。

FUMは、エンリコ・フェルミによる宇宙線加速に関する主要な研究、すなわちフェルミ加速の変種である。このシステムは、それぞれ無限の質量を持つ固定壁と可動壁の間で弾性衝突する粒子から構成される。これらの壁は、宇宙粒子が衝突する磁気ミラーを表している。

AJ LichtenbergとMA Liebermanは、断面のポアンカレ面から派生したFUMの簡略版（SFUM）を提供した。${\displaystyle x=const.}$そして書く

$${\displaystyle u_{n+1}=\left|u_{n}+U_{\text{wall}}(\varphi _{n})\right|}$$

$${\displaystyle \varphi _{n+1}=\varphi _{n}+{\frac {kM}{u_{n+1}}}{\pmod {k}},}$$

どこ$u_n$は、粒子が${\displaystyle n}$固定壁との 番目の衝突、$\displaystyle \varphi _{n}}$は、移動壁の対応する位相です。${\displaystyle U_{\text{wall}}}$ は移動する壁の速度法則であり、${\displaystyle M}$はシステムの確率性パラメータです。

移動する壁の速度法則が十分に微分可能であれば、KAM定理によれば位相空間内の不変曲線は${\displaystyle (\varphi ,u)}$不変曲線は存在する。これらの不変曲線は、粒子がそれ以上加速することを許さない障壁として機能し、粒子群の平均速度はマップの有限回の反復後に飽和する。例えば、移動する壁の正弦波速度法則ではこのような曲線が存在するが、不連続な鋸歯状速度法則では存在しない。したがって、前者の場合、粒子は無限に加速することはできず、後者の場合とは逆の現象が起こる。

長年にわたり、FUMは非線形力学と結合写像を研究するためのプロトタイプモデルとなった。

フェルミ・ウラム問題（粒子の速度とエネルギーが制限される）の厳密な解は、LD プスティルニコフによって^{[ 1 ]}で初めて与えられた（^{[ 2 ]}およびその中の参考文献も参照）。

これらの否定的な結果にもかかわらず、フェルミ・ウラム模型を特殊相対性理論の枠組みで考えると、いくつかの一般的な条件下では、初期データのオープンセットに対して粒子のエネルギーは無限大に近づく。^{[ 3 ]}

1D Fermi – Ulam モデルでは滑らかな振動の加速は起こらないが、振動境界を持つ2Dビリヤードでは無制限のエネルギー増加が観測されている。 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}カオス的ビリヤード のエネルギー増加率は、静的極限で積分可能なビリヤードのエネルギー増加率よりもはるかに大きいことがわかっている。

^{振動境界を持つ強カオスビリヤードは、}駆動カオスシステムのパラダイムとして機能する可能性がある。^{[ 9 ]}実験分野では、このトピックは核摩擦の理論[10][11]、そして最近では光学ビリヤードに捕捉された冷原子の研究[12]で取り上げられ^{ている。駆動は}エネルギーの^{拡散を誘発}し [ ^{13 ] [ 14 ] 、}その結果、吸収係数は久保公式によって決定される。^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• 規則的およびカオス的力学：AJ LichtenbergとMA Liebermanによって書かれた、FUMを扱う広く認められた科学書（応用数学科学第38巻）（ニューヨーク：Springer）。