3-3 デュオプリズム

3-3 デュオプリズム
2つの異なる回転による3D透視投影
タイプ	均一デュオプリズム
シュレーフリ記号	{3}×{3} = {3} 2
コクセター図
プロパティ	凸、頂点一様、面推移的

4 次元幾何学では、 3-3 デュオプリズムまたは三角形デュオプリズムは、4 次元の凸多面体です。

デュオプリズムは、2つの多角形の直積を使って構築できる4次元多面体です。^[1] 3-3の場合、デュオプリズムは最も単純で、2つの三角形の直積を使って構築できます。結果として得られるデュオプリズムには、9つの頂点、18の辺、^{[2]および15の面（9つの}正方形と6つの三角形を含む）があります。そのセルには6つの三角柱があります。コクセター図があります。 、対称性は[[3,2,3]]、次数は72です。

辺の長さが である均一な 3-3 デュオプリズムの超体積は 、正三角形の面積 の 2 乗です。 ${\displaystyle a}$$${\displaystyle V_{4}={3 \over 16}a^{4}.}$$$${\displaystyle A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}.}$$

3-3 デュオプリズムは、頂点と辺の数が同じグラフとして表すことができます。ベルレカンプ・ファン・リント・ザイデルグラフやコンウェイの 99 グラフ問題の未知の解のように、すべての辺は一意の三角形の一部であり、すべての隣接していない頂点のペアは一意の正方形の対角線です。これは、トーラスグラフ、局所線形グラフ、パラメータ (9,4,1,2) を持つ強正則グラフ、ルークのグラフ、および位数 9 のペイリーグラフです。 ^{[3] [4]}このグラフは、生成集合 を持つグループのケイリーグラフでもあります。 ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle G=\langle a,b:a^{3}=b^{3}=1,\ ab=ba\rangle \simeq C_{3}\times C_{3}}$${\displaystyle S=\{a,a^{2},b,b^{2}\}}$

3-3デュオプリズムの最小距離グラフは、2つの同一の完全グラフ間のグラフの直積によって求めることができる。^[5] ${\displaystyle K_{3}}$

3-3 デュオプリズムの双対多面体は、3-3デュオピラミッドまたは三角形デュオピラミッドと呼ばれます。^[6]、45 ページ：「ap,q-デュオプリズムの双対は、ap,q-デュオピラミッドと呼ばれます。」</ref> これには、9 つ​​の四角形二蝶形セル、18 の三角形の面、15 の辺、および 6 つの頂点があります。正射影では、投影で見られる5 単体と同様に、すべてのペアを接続する頂点と辺の 6 角形円として見ることができます。

正複素多角形 ₂ {4} ₃、または₃ { }+ ₃ { } には、 の実数表現で6 つの頂点があり、 の頂点配置は 3-3 二重ピラミッドの頂点配置と一致します。 3-3 二重ピラミッドの接続辺に対応する 9 つの 2 辺がありますが、2 つの三角形を接続する 6 辺は含まれていません。 3 セットの色付き辺を持つ六角形投影で見ることができます。 この頂点と辺の配置は、 1 つの三角形の各頂点が他の三角形のすべての頂点に接続されている完全な 2 部グラフを作成します。 これはトムセングラフまたは 4ケージとも呼ばれます。^[7]${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• 3-4 デュオプリズム
• テッセラクト（4-4 デュオプリズム）
• デュオシリンダー

• コクセター、『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8 （第5章：3次元および4次元の正歪多面体とその位相類似体）  
  • Coxeter, HSM 「3次元および4次元の正則歪曲多面体」。Proc . London Math. Soc. 43, 33-62, 1937。
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章） 
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• Convex Polychora のカタログ、セクション 6、George Olshevsky。

• 第四次元を簡単に説明 - デュオプリズムを「二重プリズム」、デュオシリンダーを「二重シリンダー」と説明しています
• ポリグロス – 高次元用語の用語集
• 幾何学的積によるハイパースペースの探索