プロプリズム

4次元以上の幾何学において、プロプリズムは2次元以上の2つ以上の多面体の直積から得られる多面体である。この用語はジョン・ホートン・コンウェイが積プリズムのために作った造語である。プロプリズムの空間の次元は、その積要素すべての次元の合計に等しい。プロプリズムは、一様多面体のk面要素として見られることが多い。^[1]

固有プリズムの頂点の数は、積に含まれるすべての多面体の頂点の数の積に等しくなります。

固有プリズムの最小対称順序は、すべての多面体の対称順序の積です。積内の多面体が同一である場合、より高い対称順序が可能です。

固有プリズムは、その積多面体がすべて凸である場合に 凸です。

fベクトルは、k =0 (点)からk = n -1 (面)までの多面体におけるk面要素の数です。拡張された f ベクトルには、 k =-1 (ヌリトープ) またはk = n (ボディ) も含めることができます。プリズム積にはボディ要素が含まれます。(プリズム積の双対にはヌリトープが含まれ、ピラミッド積には両方が含まれます。)

プリズム積 A×B の f ベクトルは、多項式乗算多項式係数 と同様に、(f _A、1 )*(f _B、1 )として計算できます。

例えば三角形 f=(3,3) と二乗 f=(2) の積は、6 つの頂点、9 つの辺、5 つの面を持つ 三角柱を作ります。

f _A (x) = (3,3, 1 ) = 3 + 3x + x ²（三角形）

f _B (x) = (2, 1 ) = 2 + x (dion)

f _A∨B (x) = f _A (x) * f _B (x)

= (3 + 3x + x ² ) * (2 + x)

= 6 + 9x + 5x ² + x ³

= (6,9,5, 1 )

ハイパーキューブfベクトルはn個のディオンの直積{} ⁿとして計算できる。各{}はf=(2)を持ち、f=(2, 1 )に拡張される。

たとえば、8 キューブは拡張 f ベクトルのべき乗積を持ちます: f=(2, 1 ) ⁸ = (4,4, 1 ) ⁴ = (16,32,24,8, 1 ) ² = (256,1024,1792,1792,1120,448,112,16, 1 )。長さが等しい場合、この 2 倍は { } ⁸、正方形のテトラプリズム {4} ⁴、四角柱のデュオプリズム {4,3,3} ²、および通常の 8 キューブ {4,3,3,3,3,3,3} を表します。

4 次元以上の幾何学において、デュオプリズムは、それぞれ 2 次元以上の 2 つの多面体の直積から得られる多面体です。a多面体とb多面体の直積は(a+b)多面体であり、aとbは 2 多面体 (多角形) 以上です。

最も一般的には、これは4次元における2つの多角形の積を指します。多角形の積の文脈では、ヘンリー・P・マニングの1910年の4次元を説明した著作では、これらを二重プリズムと呼んでいました。^[2]

2 つの多角形の直積は、次の点の集合です。

${\displaystyle P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,u,v)|(x,y)\in P_{1},(u,v)\in P_{2}\}}$

ここで、P ₁とP _{2 は、}それぞれの多角形に含まれる点の集合です。

最小のものは3-3 デュオプリズムで、2 つの三角形の積として作られます。三角形が正三角形の場合、シュレーフリ記号の積、{3} × {3} として表すことができ、9 つの頂点で構成されます。

四次元立方体は、16 個の頂点からなる 2 つの等しいサイズの直交正方形の積であるデュオプリズム {4} × {4} として構築できます。5 次元立方体は、正方形と立方体の積であるデュオプリズム {4} × {4,3} として構築できます。一方、6 次元立方体は、2 つの立方体の積 {4,3} × {4,3} として構築できます。

6 次元以上の幾何学では、三重積は、それぞれが 2 次元以上の 3 つの多面体の直積から得られる多面体です。 a多面体、b多面体、およびc多面体の直積は ( a  +  b  +  c ) 多面体であり、ここでa、b、およびcは 2 多面体 (多角形) 以上です。

最も次元の低い形式は、3 つの多角形の直積である6 次元多面体です。最小のものは、正則な場合はSchläfli 記号で {3} × {3} × {3} と表記でき、27 個の頂点を含みます。これは 3 つの正三角形の積であり、一様多面体です。f ベクトルは、(3,3, 1 ) ³ = (27,81,108,81,36,9, 1 ) で計算できます。

6次元立方体は、三重積{4}×{4}×{4}として構築できます。fベクトルは、(4,4, 1 ) ³ =(64,192,240,160,60,12, 1 )で計算できます。