オロイド

オロイドは、1929年にポール・シャッツによって発見された、三次元の曲面幾何学的物体です。これは、互いに垂直な平面上に連結された2つの合同な円を配置して作られる骨格フレームの凸包です。各円の中心はもう一方の円の縁上にあり、円の中心間の距離は円の半径に等しくなります。各円の周長の3分の1が凸包の内側にあるため、残りの2つの円弧（それぞれ4π/3の角度をなす）の凸包としても同じ形状を形成できます。

オロイドの表面積は^{[ 1 ]}で与えられる。

${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$

同じ半径の球の表面積とまったく同じです。閉じた形では、囲まれた体積は^{[ 1 ] [ 2 ]}です。

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}\left(2E\left({\frac {3}{4}}\right)+K\left({\frac {3}{4}}\right)\right)r^{3},}$

どこ${\displaystyle K}$そして${\displaystyle E}$それぞれ第一種および第二種の完全楕円積分を表す。数値計算の結果、

${\displaystyle V\approx 3.0524184684\,r^{3}.}$

オロイドの表面は展開面であり、表面の一部を平面に平らにすることができます。転がっている間、表面全体が展開されます。転がっている間、オロイドの表面のすべての点が、転がっている平面に接触します^{[ 1 ]。}そのため、展開可能なローラーとなります。ほとんどの軸対称物体（円筒、球など）とは異なり、平面上を転がっている間、その重心は直線運動ではなく、蛇行運動をします。距離${\displaystyle h}$オロイドの重心と転がり面との間の距離は^{[ 1 ]で与えられる。}

${\displaystyle h={\frac {r\left(2+\cos t\right)}{2{\sqrt {2(1+\cos t)}}}}}$、

どこ$t ∈ (-2π/3;2π/3)$は円の弧の長さであり、${\displaystyle r}$は円の半径です。この距離は、各回転サイクルで2つの最小値と2つの最大値を持ちます。最大値と最小値の差は

${\displaystyle \Delta h=r\left({\frac {3}{4}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\approx 0.0429r}$。

この差はかなり小さいため、オロイドの回転運動は比較的滑らかである。

この回転運動中の各点で、オロイドは線分で平面に接触します。この線分の長さは運動全体を通して変化せず、次のように表されます。^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle l={\sqrt {3}}r}$。

球面体（スフェリコン）は、互いに垂直な平面上に、中心が一点にある2つの半円の凸包です。その表面は4つの円錐の断片から構成されています。形状はオロイドに似ており、オロイドと同様に、転がすことで展開できる展開面です。ただし、オロイドには鋭い角がないのに対し、スフェリコンの赤道は4つの鋭い角を持つ正方形です。

1966年に、2つの円盤を結合した2つの円盤ローラーと呼ばれるより一般的な物体が記述されました。中心間の距離が半径の√2倍であれば、重心は床から一定の距離に保たれるため、オロイドよりも滑らかに転がります。^{[ 4 ]}

モートンのローリングノット、または「ロッキングノット」は、三接線を持たないようにパラメータ化された三つ葉結びです。 ^{[ 5 ]}つまり、3つの異なる点に接する平面が存在しないということです。この独特な性質により、一度に2つ以上の場所で地面に触れることはなく、簡単に転がることができます。均質な転がり運動のための最適なパラメータを決定するために、現代的な最適化が行われています。^{[ 6 ]}

1979年、現代舞踊家のアラン・ボーディングは、2つの交差する半円から「サークル・ウォーカー」という彫刻をデザインし、球状体（スフェリコン）の骨格バージョンを形成しました。球状体は、オロイドと同様の回転運動をする形状です。彼は1980年にインディアナ大学の彫刻のMFAプログラムの一環として、この彫刻を拡大したバージョンで踊り始め、 1984年にMOMIXダンスカンパニーに入団した後、この作品はカンパニーの公演に組み込まれました。^{[ 7 ] [ 8 ]}カンパニーの後の作品「ドリーム・キャッチャー」は、ボーディングの別の彫刻を基にしており、その連結した涙滴型は、オロイドの骨格と回転運動を取り入れています。^{[ 9 ]}

トビアス・ラングシャイト、ティロ・リヒター（編）：Oloid – Form of the Future。 Dirk Böttcher、Andreas Chiquet、Heinrich Frontzek ao、niggli Verlag 2023 による寄稿、ISBN 978-3-7212-1025-5

• スイス、ヴィンタートゥールのスイス科学センター・テクノラマで撮影された、転がるオロイド。
• 紙製オロイド模型 自分だけのオロイドを作ろう
• オロイドメッシュ：オロイドのポリゴンメッシュと、それを生成するコード。