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幾何学において、展開可能なローラーは、表面が単一の連続した展開可能な面で構成される凸立体です。 [ 1 ] [ 2 ]平面上を転がるとき、ほとんどの展開可能なローラーは表面全体を展開し、表面上のすべての点が転がる平面に接します。すべての展開可能なローラーは線織面を持ちます。これまでに、4つの展開可能なローラーのファミリーが記述されています。プライムポリ球面体[ 3 ]、 2つの円盤ローラーの凸包（TDR凸包）[ 4 ] 、ポリコン[ 5 ] [ 1 ]、およびプラトニコン[ 2 ] [ 6 ]です。
展開可能なローラーファミリーはそれぞれ異なる構成原理に基づいています。プライムポリスフェリコンはポリスフェリコンファミリーのサブファミリーです。[ 7 ]これらは、正多角形をその最長の対角線の1つを中心に回転させて 作られた物体に基づいています。これらの物体は対称面で2つに切断され、2つの半分は互いにオフセット角度で回転させた後に再び結合されます。[ 5 ]すべてのプライムポリスフェリコンは、1つ以上の円弧で構成された2つの辺と4つの頂点を持っています。スフェリコンを除くすべてのポリスフェリコンは、1種類の円錐面と1つ以上の円錐台または円筒台面で構成される表面を持っています。[ 1 ] 2ディスクローラーは、 2つの合同な対称な円形または楕円形のセクターで構成されています。セクターは、それらが配置されている平面が互いに垂直で、対称軸が一致するように互いに結合されています。[ 4 ]これらの構造の凸包は、TDR凸包ファミリーのメンバーを構成します。このファミリーのすべてのメンバーは、2 つのエッジ (2 つの円形または楕円形の弧) を持ちます。球面コン (これもこのファミリーのメンバーです) のように4 つの頂点を持つ場合と、オロイドのように頂点を持たない場合があります。プライムポリ球面コンと同様に、ポリコンは正多角形に基づいていますが、円錐台部分を持たない 1 種類の円錐の同一のピースで構成されています。円錐は、正多角形の 2 つの隣接するエッジ (およびほとんどの場合、それらの延長も) を、それらの共通の頂点を通る多角形の対称軸の周りに回転することによって作成されます。n 角形 (n 個のエッジを持つ多角形) に基づくポリコンは、n個のエッジと n + 2 個の頂点を持ちます。このファミリーのメンバーでもある球面コンは、円形のエッジを持ちます。ヘキサコンのエッジは放物線です。他のすべてのポリコンのエッジは双曲です。[ 1 ]多面体と同様に、プラトニコンは1種類の円錐面のみで構成されています。そのユニークな特徴は、それぞれが5つのプラトン立体のうちの1つを囲んでいることです。他のファミリーとは異なり、このファミリーは無限ではありません。現在までに14個のプラトニコンが発見されています。[ 2 ]
軸対称の物体は、制約がなければ直線的な転がり運動（球や円柱など）や円運動（円錐など）を行うことができますが、展開可能なローラーは転がりながら蛇行します。[ 1 ]その運動は平均的に直線であるだけです。ポリコンとプラトニコン、および一部のプライムポリスフェリコンの場合、その重心の経路は円弧で構成されます。円筒部分を含む表面を持つプライムポリスフェリコンの場合、経路は円弧と直線の組み合わせです。TDR凸包の重心の経路の形状に関する一般的な表現はまだ導出されていません。[ 4 ] 滑らかな転がり運動を維持するためには、転がる物体の重心は一定の高さを維持する必要があります。すべてのプライムポリスフェリコン、ポリコン、プラトニコン、および一部のTDR凸包はこの特性を共有しています。[ 1 ] [ 3 ]オロイドのようなTDR凸包の中には、この性質を持たないものもあります。TDR凸包が一定の高さを維持するためには、以下の条件が満たされなければなりません。
ここで、aとbはそれぞれ楕円弧の短軸と長軸の半分であり、cはそれらの中心間の距離である。[ 4 ]例えば、凸包TDRの骨格構造が半径rの2つの円弧で構成されている場合、重心を一定の高さに保つためには、セクターの中心間の距離は等しくなければならない。r . [ 8 ]
