オイラーの三体問題

物理学と天文学において、オイラーの三体問題とは、空間に固定された他の二つの質点の重力場の作用を受ける粒子の運動を解くことである。これは三体問題の特別なバージョンである。このバージョンの三体問題は正確に解くことができ、長楕円体と扁平楕円体の重力場を移動する粒子のおおよその解を与える。この問題は、1760年に出版された回想録でこの問題を論じたレオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた。三体問題への重要な拡張と分析は、その後、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ジョゼフ・リウヴィル、ピエール＝シモン・ラプラス、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、ユルバン・ル・ヴェリエ、ウィリアム・ローワン・ハミルトン、アンリ・ポアンカレ、ジョージ・デイヴィッド・バーコフなどによって貢献された。^[1] オイラーの三体問題は、2つの固定中心の問題、オイラー・ヤコビ問題、2中心ケプラー問題など、さまざまな名前で知られています。完全な3次元の場合の正確な解は、ワイエルシュトラスの楕円関数で表すことができます。^{[2]便宜上、この問題は、運動方程式の}ルンゲ・クッタ積分 などの数値的方法で解くこともできます。運動する粒子の全エネルギーは保存されますが、線運動量と角運動量は保存されません。これは、2つの固定中心が正味の力とトルクを加えることができるためです。ただし、粒子には、極限の場合として、角運動量またはラプラス・ルンゲ・レンツ・ベクトルに対応する2番目の保存量があります。

オイラーの問題は、クーロンの法則で説明される静電相互作用など、他の反比例中心力が粒子に作用する場合もカバーします。オイラーの問題の古典的な解は、二原子イオン HeH 2+ など、2つの原子核の場を移動する単一電子のエネルギーレベルの半古典的近似を使用して、化学結合を研究するために使用されました。これは、1921年にヴォルフガング・パウリがアルノルド^・ゾンマーフェルトの指導の下で博士論文で初めて行いました。これは、分子状水素の最初のイオン、つまり水素分子イオンH ₂ ⁺の研究でした。^{[3]これらのエネルギーレベルは、原子状水素の}ボーアモデルの基礎でもあるアインシュタイン-ブリルアン-ケラー法を 使用して、かなりの精度で計算できます。^{[4] [5]}最近では、量子力学バージョンでさらに説明されているように、固有値（エネルギー）の解析解が得られており、これはランバートW関数の一般化である。

オイラーの問題には様々な一般化が知られており、これらの一般化では線形および逆三次力と最大5つの力の中心が追加されます。これらの一般化された問題の特殊なケースには、ダルブーの問題^[6]とベルデの問題^{[7]が含まれます。}

オイラーの三体問題は、ニュートンの重力やクーロンの法則のように、距離とともに減少する中心力で粒子を引き付ける2つの中心の影響下にある粒子の運動を記述するものである。オイラーの問題の例には、水素分子イオンHなどの2つの原子核の電場内を移動する電子が含まれる。 +22つの逆二乗力の強さは必ずしも等しい必要はありません。例えば、分子イオンHeH ²⁺の場合のように、2つの原子核が異なる電荷を持つ場合があります。

オイラーの三体問題では、2つの引力中心は静止していると仮定する。これはHのような場合には厳密には当てはまらない。+2しかし、陽子は電子よりもずっと小さな加速度しか受けません。しかし、オイラーの三体問題は、 2 つの恒星の重力場を動く惑星には当てはまりません。その場合、少なくとも 1 つの恒星が惑星と同じような加速度を受けるからです。

この問題はレオンハルト・オイラーによって初めて検討され、1760年に正確な解があることが示されました。^[8] ジョセフ・ルイ・ラグランジュは、中心が線形力と逆二乗力の両方を及ぼす一般化された問題を解きました。 ^[9] カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビは、 2つの固定された中心の軸を中心とした粒子の回転を分離できることを示し、一般的な3次元問題を平面問題に還元しました。^[10]

2008年、ディアミッド・オ・マトゥナは「天体力学における積分可能系」と題する本を出版した。この本では、平面の2つの固定中心問題と3次元問題の両方について閉じた形式の解を与えている。^[11]

2つの固定された中心の問題はエネルギーを保存する。言い換えれば、全エネルギーは運動定数である。位置エネルギーは次のように与えられる。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}} }$

ここで、は粒子の位置を表し、およびは粒子と力の中心との間の距離であり、およびはそれぞれ第1および第2の力の強さを測定する定数である。全エネルギーは、この位置エネルギーと粒子の運動エネルギーの合計に等しい。${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \mu_{1}}$${\displaystyle \mu_{2}}$

${\displaystyle E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )}$

ここで、 はそれぞれ粒子の質量と線運動量です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {p} }$

オイラーの問題では、粒子の直線運動量と角運動量は保存されない。なぜなら、2つの力の中心が粒子に対して外力のように作用し、粒子に正味の力とトルクを生じさせる可能性があるからである。しかし、オイラーの問題には2番目の運動定数がある。

${\displaystyle C=r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}\,{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,a\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),}$

ここで、は2つの力の中心の距離であり、は粒子と力の中心を結ぶ線と、中心を結ぶ線との角度である。この2番目の運動定数は、ET Whittakerが解析力学の研究で特定し、^[12] 1967年にCoulsonとJosephによって次元に一般化された。 ^[13] Coulson-Joseph形式では、運動定数は次のように表される。 ${\displaystyle 2\,a}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle B=\mathbf {L} ^{2}+a^{2}p_{n}^{2}+2\,a\,x_{n}\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right),}$

ここで、 は吸引中心が位置する軸に沿った運動量成分を表します。 ^{[注 1]}この運動定数は、2 つの力の中心が 1 点に収束する極限 ( ) では全角運動量の2乗に相当し、中心の 1 つが無限大に向かう極限 ( は有限のまま) ではラプラス・ルンゲ・レンツ ベクトルに比例します。 ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}}$${\displaystyle a\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle a\rightarrow \infty }$${\displaystyle |x_{n}-a|}$

量子力学的な三体問題の特殊なケースは、水素分子イオン、Hである。⁺
₂3つの物体のうち2つは原子核で、3つ目は高速で移動する電子です。2つの原子核は電子の1800倍重いため、固定中心としてモデル化されます。シュレーディンガー波動方程式は長楕円体座標で分離可能であり、エネルギー固有値と分離定数で結合された2つの常微分方程式に分離できることはよく知られています。^[14] しかし、解を得るには基底関数の級数展開が必要でした。それでも、実験数学を通じて、エネルギー固有値は数学的にはランバートW関数の一般化であることがわかりました（詳細についてはランバートW関数とその中の参考文献を参照してください）。固定された原子核の場合の水素分子イオンは、コンピュータ代数システム内で完全に計算できます。その解が暗黙の関数であるという事実は、それ自体が示唆に富んでいます。理論物理学の成功の 1 つは、単に数学的な処理が可能であるということではなく、関連する代数方程式を記号的に操作して、解析解、できれば閉じた形の解を分離できることです。三体問題の特殊なケースに対するこのタイプの解は、量子三体問題および多体問題の解析解として何が可能であるかを示しています。

オイラーの三体問題の解ける一般化の徹底的な分析は、1911 年にアダム ヒルテバイテルによって実行されました。オイラーの三体問題の最も単純な一般化は、元の中心の中間に、線形フック力 のみを及ぼす 3 番目の力の中心を追加することです。次の一般化は、距離とともに線形に増加する力で逆二乗の力の法則を増強することです。最後の一般化セットは、虚数 の位置に 2 つの固定力の中心を追加することです。これらの力は線形かつ逆二乗の法則であり、虚数の中心の軸に平行で、その軸までの距離の 3 乗に反比例して変化する力も追加されます。

元々のオイラーの問題の解は、長球体、つまり葉巻型など、一方向に引き伸ばされた球体の重力場における粒子の運動の近似解です。これに対応する、球体を一方向に押しつぶした扁平楕円体の場内を運動する粒子の近似解は、2つの力の中心の位置を虚数にすることで得られます。扁平楕円体の解は天文学的に重要です。ほとんどの惑星、恒星、銀河はほぼ扁平楕円体であり、長球体は非常にまれだからです。

一般相対性理論における扁平ケースの類似物はカーブラックホールである。^{[15]この物体の周りの測地線は、}カーター定数として知られる第4の運動定数（エネルギー、角運動量、および四元運動量の大きさに加えて）の存在により、積分可能であることが知られている。オイラーの扁平三体問題とカーブラックホールは同じ質量モーメントを共有しており、これは後者の計量がカー・シルト座標で書かれる場合に最も明白である。

扁平なケースに線形フック項を加えたものがカー・ド・ジッターブラックホールである。フックの法則と同様に、宇宙定数項は原点からの距離に線形に依存し、カー・ド・ジッター時空は運動量にカーター型の2乗定数も許容する。^[16]

元のオイラー問題では、粒子に作用する2つの力の中心は空間に固定されていると仮定します。これらの中心は、x軸に沿って± aに位置します。粒子も同様に、2つの力の中心を含む固定された平面に制限されていると仮定します。これらの中心の場における粒子の位置エネルギーは、次のように表されます。

${\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}$

ここで、比例定数 μ ₁および μ _{2 は}正または負の可能性がある。2 つの引力の中心は、楕円の集合の焦点と考えることができる。どちらかの中心が存在しない場合、粒子はこれらの楕円の 1 つ上を移動し、ケプラーの問題の解となる。したがって、ボネの定理によれば、同じ楕円がオイラーの問題の解となる。

楕円座標を導入すると、

${\displaystyle \,x=\,a\cosh \xi \cos \eta ,}$

${\displaystyle \,y=\,a\sinh \xi \sin \eta ,}$

位置エネルギーは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\xi ,\eta )&={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}\\[8pt]&={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},\end{aligned}}}$

そして運動エネルギーは

${\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).}$

これは、ξとηをそれぞれφ ₁とφ ₂とするとリウヴィル力学系となる。したがって、関数Yは

${\displaystyle \,Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

そして関数W は

${\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right).}$

リウヴィル力学系の一般解^[17]を用いる と、

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }$

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }$

式によって パラメータuを導入する

${\displaystyle du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},}$

パラメトリック解を与える

${\displaystyle u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.}$

これらは楕円積分なので、座標 ξ と η はuの楕円関数として表すことができます。

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