すべての要素が部分集合である数学的集合のクラス
数学の一分野である集合論
では、次の同等の条件のいずれかが満たされる場合、
集合は推移的であると呼ばれます。 
- いつでも、そして、その場合。
- であり、が要素でない場合は、 はのサブセットです。
同様に、のすべての要素がのサブセットである場合、クラスは 推移的です。
例
ジョン・フォン・ノイマンによって提案された順序数の定義を使用すると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義されます。順序数は、そのメンバーも推移的である（したがって順序数である）推移的な集合です。すべての順序数のクラスは推移的なクラスです。
フォン・ノイマン宇宙とゲーデルの構成可能宇宙の構築に至る段階とはすべて推移的な集合です。宇宙とそれ自体は推移的なクラスです。
これは最大20個の括弧を持つすべての有限推移集合の完全なリストです: [1]
プロパティ
集合 が推移的であるためには、が集合であるのすべての要素の和集合である場合に限ります。
が推移的であれば、 は推移的です。
と が推移的である場合、と は推移的です。一般に、 がそのすべての要素が推移的な集合であるクラスである場合、と は推移的です。(この段落の最初の文は の場合です。)
固有元を含まない集合は、それが自身のべき集合の部分集合である場合に限り推移的である。固有元を含まない推移集合のべき集合は推移的である。
推移閉包
集合の推移閉包とは、 （つまり）を含む（包含に関して）最小の推移集合のことである。[2] 集合 が与えられたとすると、 の推移閉包は
証明。と と表記する。すると、集合
は推移的であり、がを含む推移集合である場合は となります。
と仮定します。すると、ある に対してとなり、したがって となります。 なので、となります。したがっては推移的です。
ここで、 を上記のように仮定します。すべて に対して であることを帰納法で証明し、次のことを証明します。 であるため、基本ケースが成立します。 ここで と仮定します。すると となります。 しかし は推移的であるため となり、したがって となります。これで証明は完了です。
セットの和集合は、メンバーシップ関係とそれ自体の
相対積で表現できるため、これはメンバーシップ関係の推移閉包によって関連付けられるすべてのオブジェクトのセットであることに注意してください。
集合の推移閉包は、第一階の式で表現できます。がの推移閉包である場合、それは が のすべての推移スーパーセットの共通部分である場合に限ります(つまり、 のすべての推移スーパーセットには がサブセットとして
含まれています)。
集合論の推移モデル
推移クラスは集合論自体の解釈の構築によく使用され、通常は内部モデルと呼ばれます。その理由は、有界式によって定義されたプロパティが推移クラスにとって絶対的であるためです。 [3]
集合論の形式体系のモデルである推移的な集合（またはクラス）は、その体系の推移モデルと呼ばれます（モデルの要素関係が、モデルの宇宙に対する真の要素関係の制限である場合）。推移性は、式の絶対性を決定する重要な要素です。
非標準解析に対する上部構造アプローチでは、非標準宇宙は強い推移性を満たす。ここで、各集合 に対して、を満たす推移的な上位集合が存在する場合、クラスは強く推移的であると定義される。強く推移的なクラスは自動的に推移的である。この強化された推移性仮定により、たとえば には のすべての二項関係のドメインが含まれると結論付けることができる。[4]
参照
参考文献
- ^ 「n 個のノードを持つ根付き恒等木（自己同型群が恒等群である根付き木）の数」、OEIS
- ^ Ciesielski, Krzysztof (1997)、働く数学者のための集合論、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、p. 164、ISBN 978-1-139-17313-1、OCLC 817922080
- ^ Viale, Matteo (2003 年 11 月)、「累積階層と ZFA の構築可能な宇宙」、Mathematical Logic Quarterly、50 (1)、Wiley: 99–103、doi :10.1002/malq.200310080
- ^ ゴールドブラット（1998）p.161
