分散ガンマ分布

分散ガンマ分布

パラメータ	${\displaystyle \mu}$ 位置（実数） （実数）非対称パラメータ（実数）形状パラメータ（代替パラメータ化には[1]を使用） ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \nu =1/\lambda }$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\gamma ^{2\lambda }|x-\mu |^{\lambda -1/2}K_{\lambda -1/2}\left(\alpha |x-\mu | \right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\lambda )(2\alpha )^{\lambda -1/2}}}\;e^{\beta (x-\mu )}}$ ${\displaystyle K_{\lambda}}$は第二種修正ベッセル関数を表し、ガンマ関数を表す。 ${\displaystyle \ガンマ}$
平均	${\displaystyle \mu +2\beta \lambda /\gamma ^{2}}$
分散	${\displaystyle 2\lambda (1+2\beta ^{2}/\gamma ^{2})/\gamma ^{2}}$
MGF の	${\displaystyle e^{\mu z}\left(\gamma /{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}\right)^{2\lambda }}$

分散ガンマ分布、一般化ラプラス分布^[2]またはベッセル関数分布^[2]は、混合密度がガンマ分布である正規分散平均混合として定義される連続確率分布です。分布の裾は、正規分布よりも緩やかに減少します。したがって、数値的に大きな値が正規分布の場合よりも可能性が高い現象をモデル化する場合に適しています。例としては、金融資産からの収益や乱流風速があります。この分布は、金融文献でマダンとセネタによって導入されました。^{[3]分散ガンマ分布は、}一般化双曲型分布のサブクラスを形成します。

モーメント生成関数に簡単な式があるということは、すべてのモーメントに簡単な式が使えることを意味します。分散ガンマ分布のクラスは、次の意味で畳み込みに対して閉じています。 および が、パラメータ および の値が同じであるが、他のパラメータ 、およびの値はそれぞれ異なる可能性がある分散ガンマ分布に従う独立したランダム変数である場合、 は パラメータ、、およびを持つ分散ガンマ分布に従います。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \lambda_{1}}$${\displaystyle \mu_{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},}$ ${\displaystyle \mu_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}$

分散ガンマ分布は、その創始者の頭文字にちなんで表記される 3 つの入力パラメータ (C、G、M) で表現することもできます。ここでパラメータ「C」が整数の場合、分布は閉じた形式の 2-EPT 分布になります。2 -EPT 確率密度関数を参照してください。この制限の下では、閉じた形式のオプション価格を導出できます。 ${\displaystyle \lambda}$

、かつの場合、分布はスケールパラメータを持つラプラス分布になります。 である限り、との代替選択は、歪度、スケール、位置が他のパラメータに依存するラプラス分布に関連する分布を生成します。^[4]${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle b=1}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$

対称分散ガンマ分布の場合、尖度は次のように表される。^[1]${\displaystyle 3(1+1/\lambda )}$

分散ガンマプロセスも参照してください。