合成数

合成数は、2 つのより小さい正の整数を掛け合わせることによって作られる正の整数です。したがって、 1 とそれ自身以外の約数が少なくとも 1 つある正の整数です。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}すべての正の整数は合成数、素数、または単位 1 のいずれかであるため、合成数は素数でも単位数でもない自然数です。^{[ 3 ] [ 4 ]}例えば、整数 14 は、2 つのより小さい整数 2 と 7 の積であるため合成数ですが、整数 2 と 3 はそれぞれ 1 とそれ自身でしか割り切れないため合成数ではありません。

最初の25個の合成数（すべて36まで）は以下のとおりです。

4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36。（OEISのシーケンスA002808）

すべての合成数は、2 つ以上の (必ずしも異なるとは限らない) 素数の積として表すことができます。^{[ 2 ]}例えば、合成数299は13 × 23 と表すことができ、合成数360は 2 ³ × 3 ² × 5と表すことができます。さらに、この表現は因数の順序を除いて一意です。この事実は算術の基本定理と呼ばれています。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

素数か合成数かを判定できる既知の素数判定法はいくつか存在するが、それらは必ずしも合成数の素因数分解を明らかにするものではない。

グリム予想とは、連続する合成数の集合に対して、同じ大きさの素数の集合が存在し、前者の集合の各合成数を後者の集合の、その合成数を割り切れる素数に写像する全単射が存在するというものである。

合成数を分類する一つの方法は、素因数の個数を数えることです。素因数が2つある合成数は半素数または2-ほぼ素数です（素因数は必ずしも異なる必要はなく、素数の平方も含まれます）。素因数が3つ異なる合成数は球面数です。応用によっては、素因数の個数が奇数の合成数と偶数の合成数を区別する必要がある場合があります。後者の場合、

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}$

（ここでμはメビウス関数、xは素因数の合計の半分）一方前者については

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.}$

ただし、素数の場合、この関数は −1 も返します。${\displaystyle \mu (1)=1}$1つ以上の重複する素因数を持つ数nの場合、

${\displaystyle \mu (n)=0}$[ ^{9 ]​}

ある数の素因数が全て重複している場合、その数は強力数と呼ばれます（また、全ての完全べき乗も強力数です）。素因数が一つも重複していない場合、その数は平方因子を持たない数と呼ばれます（全ての素数と1は平方因子を持たない数です）。

例えば、72 = 2³ ^× 3²^であり、すべての素因数が重複しているため、72 は強力な数です。42 = 2 × 3 × 7 であり、どの素因数も重複していないため、42 は平方フリー数です。

合成数を分類するもう1つの方法は、約数の数を数えることです。すべての合成数は少なくとも3つの約数を持っています。素数の平方の場合、それらの約数は${\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}$n が、nより小さい任意のxより多くの約数を持つ数nは、高度合成数である(ただし、そのような最初の 2 つの数は 1 と 2 である)。

合成数は「長方形数」とも呼ばれるが、その名称は連続する2つの整数の積であるプロニック数を指す場合もある。

合成数を分類するもう一つの方法は、すべての素因数が、ある固定された（素）数より小さいか大きいかを判断することです。このような数は、それぞれ「滑らかな数」と「粗い数」と呼ばれます。

• 正の整数の標準表現
• 整数因数分解
• エラトステネスの篩
• 素因数分解表
• 除数関数
• プライムオメガ関数
• メビウス関数

• フレイリー、ジョン・B. (1976)、『抽象代数学入門』（第2 版）、リーディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964)、『Topics In Algebra』、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016{{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
• ロング、カルビン・T. (1972) 『数論入門』（第2 版）、レキシントン：DCヒース・アンド・カンパニー、LCCN 77-171950 
• マッコイ、ニール・H. (1968)『現代代数学入門 改訂版』ボストン：アリン・アンド・ベーコン、LCCN 68-15225 
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), 『数論の基礎』、Englewood Cliffs: Prentice Hall、LCCN 77-81766 

• 素因数分解された合成数のリスト（最初の100、1,000、10,000、100,000、および1,000,000）
• 除数プロット（大きな合成数に見られるパターン）