和集合論

集合論では、集合の集合の和集合（∪で表記）は、集合内のすべての要素の集合である。 ^[1]これは、集合を結合し、互いに関連付けることができる基本的な操作の1つである。ゼロ集合の和集合はゼロ（ ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$）の和集合を指し空集合と等しくなります。

この記事で使用されている記号の説明については、数学記号表を参照してください。

2つの集合AとBの和集合は、Aに含まれる要素、Bに含まれる要素、またはAとBの両方に含まれる要素の集合である。^[2]集合構築記法 では、

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ または }}x\in B\}}$^[3 ]

たとえば、A = {1, 3, 5, 7}、B = {1, 2, 4, 6, 7} の場合、A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} となります。より複雑な例 (2 つの無限集合を含む) は次のとおりです。

A = { xは1 より大きい偶数整数}

B = { xは 1 より大きい奇数の整数}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

別の例として、9 は素数でも偶数でもないため、素数の集合{2、3、5、7、11、...} と偶数の集合{2、4、6、8、10、...} の和集合には含まれません 。

集合は重複する要素を持つことはできないため、^{[3] [4]}、集合{1, 2, 3}と{2, 3, 4}の和集合は{1, 2, 3, 4}となる。同一要素が複数回出現しても、集合の 濃度やその内容には影響しない。

二項和は結合演算です。つまり、任意の集合⁠ ⁠${\displaystyle A,B,{\text{ および }}C}$に対して、 となります。 したがって、括弧を省略しても曖昧さはありません。上記のどちらも⁠ ⁠と書くことができます。また、和は可換であるため、集合は任意の順序で書くことができます。^[5]空集合は 和演算の単位元です。つまり、任意の集合 ⁠ ⁠ に対して、となります。また、和演算はべき等です。⁠ ⁠。これらすべての特性は、論理和に関する類似の事実から生じます。 $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$${\displaystyle A\cup B\cup C}$${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\cup A=A}$

交差は和集合に対して分配され 、和集合は交差に対して分配される^[2]集合 ⁠ ⁠ の冪集合 は、和集合、交差、補集合によって与えられる演算とともに、ブール代数である。このブール代数では、和集合は、交差と補集合を用いて次の式で表すことができる 。ここで、上付き 文字は、全体集合⁠ ⁠における補集合を表す。あるいは、交差も同様の方法で、和集合と補集合を用いて表すことができる。これら 2 つの式を合わせてド・モルガンの法則と呼ぶ。^{[6] [7] [8]}$${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ $${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$${\displaystyle U}$$${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$${\displaystyle {}^{\complement }}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$

複数の集合の和集合を同時にとることができます。たとえば、 3 つの集合A、B、Cの和集合には、 Aのすべての要素、Bのすべての要素、Cのすべての要素が含まれ、それ以外は何も含まれません。したがって、x がA ∪ B ∪ Cの要素となるのは、x がA、B、Cの少なくとも 1 つに含まれる場合のみです。

有限和集合は有限個の集合の和集合である。この句は和集合が有限集合であることを意味するものではない。^{[9] [10]}

最も一般的な概念は、任意の集合の集合の和集合であり、無限和集合と呼ばれることもある。M が集合または集合を要素とするクラスである場合、 x がM の和集合の要素となるのは、Mの要素Aが少なくとも 1 つ存在し、 x がAの要素となる場合のみである。^[11]記号では、

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

この考え方は、前のセクションを包含します。たとえば、A ∪ B ∪ C は、コレクション { A、B、C } の和集合です。また、M が空のコレクションである場合、Mの和集合は空集合です。

一般概念の表記法は大きく異なります。集合の有限和は、またはと表記されることが多いです。任意の和を表す一般的な表記法には、、 、などがあります。これらの表記法の最後のものは、コレクション の和を表します。ここで、 I はインデックス集合であり、 は任意の⁠ ⁠に対して集合です。インデックス集合Iが自然数の集合である場合、 という表記法を使用します。これは、級数の無限和の表記法に似ています。^[11]${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

記号「∪」が他の記号の間ではなく前に置かれると、通常は大きなサイズで表示されます。

Unicodeでは、unionは文字U+222A ∪ UNIONで表されます。^[12] TeXでは、はからレンダリングされ、はからレンダリングされます。 ${\displaystyle \cup}$\cup${\textstyle \bigcup }$\bigcup

• 集合の代数 – 集合に関する同一性と関係
• 交替（形式言語理論）  - 形式言語理論とパターンマッチングにおいて、2つの文字列またはパターンのセットの結合フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ− 文字列のセットの結合
• 和公理 – 公理的集合論における概念
• 不連続和 – 数学において、集合に対する演算
• 包含排他原理 – 組合せ論における計数技法
• 交差（集合論）  – いくつかの集合のすべてに共通する要素の集合
• 反復二項演算 – シーケンスに対する演算の繰り返し適用
• 集合の同一性と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
• 素朴集合論 – 非公式集合論
• 対称差 – 2つの集合のうちの1つに含まれる要素

• 「集合の和集合」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ProvenMath の無限和と無限交差、集合論の公理から正式に証明されたド・モルガンの法則。