コーディック

CORDIC (座標回転デジタルコンピュータ)、Volderのアルゴリズム、数字ごとの方法、円形CORDIC ( Jack E. Volder )、^{[1] [2]} 線形CORDIC、双曲型CORDIC (John Stephen Walther)、^{[3] [4]}および一般化双曲型CORDIC ( GH CORDIC ) (Yuanyong Luo他)、^{[5] [6]は、}三角関数、双曲関数、平方根、乗算、除算、および任意の底を持つ指数と対数を計算するためのシンプルで効率的なアルゴリズムであり、通常は反復ごとに1桁 (またはビット) で収束します。したがって、CORDICは数字ごとのアルゴリズムの例でもあります。 CORDIC および疑似乗算、疑似除算、または因数結合として知られる密接に関連する方法は、ハードウェア乗算器が利用できない場合によく使用されます(例: 単純なマイクロコントローラやフィールド プログラマブル ゲート アレイ(FPGA))。必要な操作は、加算、減算、ビットシフト、およびルックアップ テーブルだけだからです。そのため、これらはすべてシフト アンド 加算アルゴリズムのクラスに属します。コンピューター サイエンスでは、コストやスペース上の理由でターゲット プラットフォームにハードウェア乗算器がない場合に、CORDIC が浮動小数点演算を実装するためによく使用されます。

同様の数学的手法は、ヘンリー・ブリッグスによって1624年に発表されています^{[7] [8]。}また、ロバート・フラワーによって1771年に発表されています^[9]。しかし、CORDICは複雑度の低い有限状態CPUに最適化されています。

CORDICは1956年にコンベア社の航空電子工学部門のジャック・E・ヴォルダーによって考案されました^{[10] [11]。B} -58爆撃機の航法コンピュータのアナログリゾルバを、より正確で高速なリアルタイムデジタルソリューションに置き換える必要性から生まれました^[11] 。そのため、CORDICはデジタルリゾルバと呼ばれることもあります^{[12] [13] 。}

ヴォルダーは、1946年版のCRC化学物理ハンドブックに掲載されている式に着想を得て研究を進めた。^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}R\sin(\theta \pm \varphi )&=R\sin(\theta )\pm 2^{-n}R\cos(\theta ),\\K_{n}R\cos(\theta \pm \varphi )&=R\cos(\theta )\mp 2^{-n}R\sin(\theta ),\\\end{aligned}}}$

ここで はであり、 となる。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \tan(\varphi )=2^{-n}}$${\displaystyle K_{n}:={\sqrt {1+2^{-2n}}}}$

彼の研究は、正弦関数と余弦関数を解くCORDICアルゴリズムとそれを実装したプロトタイプコンピュータを提案する社内技術レポートにつながった。^{[10] [11]}レポートでは、修正されたCORDICアルゴリズムを使用して双曲座標回転、対数、指数関数を計算する可能性についても議論された。^{[10] [11]}乗算と除算にCORDICを使用することもこの時に考案された。^{[11] CORDICの原理に基づいて、コンベアでのヴォルダーの同僚であるダン・H・ダゲットは、2進数と}2進化10進数（BCD）間の変換アルゴリズムを開発した。^{[11] [14]}

1958年、コンベアはついにレーダー測位問題を解決するデモンストレーションシステムCORDIC Iの構築を開始し、1960年にすでに会社を去っていたヴォルダーの手を借りずに完成しました。^{[1] [11]}より汎用的なCORDIC IIモデルA（固定）とB（空中）は、1962年にダゲットとハリー・シュスによって構築され、テストされました。^{[11] [15]}

VolderのCORDICアルゴリズムは1959年に初めて公開され、^{[1] [2] [11] [13] [16]、}Martin-Orlando、Computer Control、Litton、Kearfott、Lear-Siegler、Sperry、Raytheon、Collins Radioなどの企業によってナビゲーションコンピュータに組み込まれました。^[11]

ヴォルダーはマルコム・マクミランとチームを組み、彼の2進CORDICアルゴリズムを利用した固定小数点デスクトップ計算機Athenaを開発した。[ 17 ]この^設計は1965年6月にヒューレット・パッカードに導入されたが、受け入れられなかった。^[17]それでも、マクミランはデビッド・S・コクラン（HP）にヴォルダーのアルゴリズムを紹介し、後にコクランがヴォルダーに会ったとき、コクランはジョン・E・メギット（IBM ^[18] ）が1961年に疑似乗算と疑似除算として提案した同様のアプローチをヴォルダーに紹介した。 ^{[18] [19]}メギットの方法は、これまでヴォルダーのCORDICで使用されていた2進数ではなく、10進数^[18]の使用も示唆した。これらの努力により、1966年にヒューレット・パッカード社内で10進CORDICプロトタイプマシンのROM可能ロジック実装が実現した。[ ^{20] [19]}このマシンはトーマス・E・オズボーンが1964年12月にDTLロジックで完成させた4機能浮動小数点デスクトップ計算機のプロトタイプグリーンマシン^[17]から概念的に派生して構築された。 ^{[21]このプロジェクトの結果、ヒューレット・パッカード初の科学関数付きデスクトップ計算機である}HP 9100Aが1968年3月に公開され、同年後半に量産が開始された。^{[17] [21] [22] [23]}

王研究所は、HP 9100Aが、以前のLOCI-1 ^[24]（1964年9月）およびLOCI-2（1965年1月）^{[25] [26]}対数計算機器デスクトップ計算機[27]の因数結合法に似たアプローチを使用していることを発見し、1968年にヒューレット・パッカードが王安の特許の1つを侵害したとして訴えたが、不起訴となった^{。[19] [28] [29] [30]}

ヒューレット・パッカードのジョン・スティーブン・ワルサーは、1971年にこのアルゴリズムを統合CORDICアルゴリズムに一般化し、双曲関数、自然指数、自然対数、乗算、除算、平方根を計算できるようにした。^{[31] [3] [4] [32]}三角関数と双曲関数のCORDICサブルーチンは、ほとんどのコードが共通だった。^[28]この開発の結果、 1972年に最初の科学的な ハンドヘルド計算機であるHP-35が誕生した。 ^{[28] [33] [34] [35] [36] [37]}双曲CORDICに基づいて、Yuanyong Luoらは、新しいCORDICを開発し、 1978年に最初の科学的なハンドヘルド計算機であるHP-35を開発しました。さらに2019年には、任意の固定底を持つ対数と指数を直接計算する一般化双曲型CORDIC（GH CORDIC）を提案した。 ^{[5] [6] [38] [39] [40]}理論的には、双曲型CORDICはGH CORDICの特殊なケースである。^[5]

当初、CORDICは2進数システムのみを使用して実装されていましたが、メギットが疑似乗算アプローチに10進数システムの使用を提案したにもかかわらず、10進CORDICはその後数年間ほとんど知られずに残り、ヘルマン・シュミットとアンソニー・ボガッキは1973年になってもまだそれを目新しいものとして提案していました^{[16] [13] [41] [42] [43]。}そして、ヒューレット・パッカードが1966年にすでにそれを実装していたことが後になって判明しました。^{[11] [13] [20] [28]}

10進CORDICはポケット電卓で広く使われるようになりましたが、^[13]そのほとんどは2進数ではなく2進化10進数(BCD)で動作します。この入出力形式の変更により、CORDICのコア計算アルゴリズムは変更されませんでした。CORDICは特に、低コスト、つまりチップゲート数の少なさが速度よりもはるかに重要なハンドヘルド電卓に適しています。

CORDICは、 ARMベースの STM32G4、Intel 8087、^{[43] [ 44] [45] [46] [47]} 80287、^{[47] [48]} 80387 ^{[47] [48]}から80486 ^[43]コプロセッサシリーズ、およびMotorola 68881 ^{[43] [44]}と68882に実装されており、主にFPUサブシステムのゲート数（および複雑さ）を削減する手段として、いくつかの種類の浮動小数点命令に使用されています。

CORDICは、三角関数、双曲線関数、対数関数の計算、実数および複素数の乗算、除算、平方根計算、線形システムの解、固有値推定、特異値分解、QR分解など、さまざまな計算タスクに単純なシフト加算演算を使用します。その結果、CORDICは一般的な科学技術計算以外にも、信号および画像処理、通信システム、ロボット工学、3Dグラフィックスなどのさまざまな分野のアプリケーションに使用されています。 ^{[49] [50]}

このアルゴリズムは、アポロ計画の月面車（LRV）の航法システムで、方位と距離、つまり月着陸船からの距離を計算するために使用されました。^{[51] [52] CORDICは1980年に}Intel 8087数値演算コプロセッサの実装に使用され、ハードウェアによる乗算の実装の必要性を回避しました。^[53]

CORDIC は、ハードウェア乗算器が利用できない場合 (マイクロコントローラなど)、またはサポートする関数の実装に必要なゲート数を最小限に抑える必要がある場合 (FPGA またはASICなど)、一般に他のアプローチよりも高速です。実際、CORDIC は、Xilinx の Vivado などの FPGA 開発アプリケーションでは標準のドロップインIPですが、べき級数の実装はそのような IP の特殊性によるものではありません。つまり、CORDIC は多くの異なる関数 (汎用) を計算できますが、べき級数の実装を実行するように構成されたハードウェア乗算器は、設計された関数しか計算できません。

一方、ハードウェア乗算器が利用できる場合（例：DSPマイクロプロセッサ）、テーブルルックアップ法とべき級数は一般に CORDIC よりも高速です。近年、CORDIC アルゴリズムはさまざまなバイオメディカル アプリケーション、特に FPGA 実装で広く使用されています。^[要出典]

STM32G4シリーズおよび一部のSTM32H7シリーズの MCU は、ヒューマン マシン インターフェイスのグラフィックスやモーターのフィールド指向制御など、さまざまなミックスド シグナル アプリケーションでの計算を高速化するためにCORDIC モジュールを実装しています。べき級数近似ほど高速ではありませんが、CORDIC は、ARM CMSIS および C 標準ライブラリによって提供されるものなどの補間テーブル ベースの実装よりも確かに高速です。^[54]ただし、提供される CORDIC モジュールは結果で 20 ビットの精度しか達成しないため、結果の精度はわずかに劣る可能性があります。たとえば、ARM 実装と比較したパフォーマンスの違いのほとんどは、完全な浮動小数点精度 (24 ビット) を達成し、その精度に対する相対誤差を達成する可能性のある補間アルゴリズムのオーバーヘッドによるものです。^[55]もう 1 つの利点は、CORDIC モジュールがコプロセッサであり、他の CPU タスクと並行して実行できることです。

テイラー級数を使用する際の問題は、絶対誤差は小さいものの、相対誤差が適切に制御されないことです。^[56]ミニマックス最適化などの他の多項式近似手段を使用して、両方の種類の誤差を制御することができます。

整数のみの CPU を搭載した古いシステムの多くは、 IEEE 浮動小数点ライブラリの一部として、さまざまな程度に CORDIC を実装しています。最近の汎用 CPU のほとんどには、加算、減算、乗算、除算、正弦、余弦、平方根、log ₁₀、自然対数などの一般的な演算を備えた浮動小数点レジスタがあるため、ソフトウェアで CORDIC を実装する必要はほとんどありません。マイクロコントローラまたは特別な安全性と時間制約のあるソフトウェア アプリケーションのみが、CORDIC の使用を検討する必要があります。

CORDIC は、さまざまな関数を計算するために使用できます。この説明では、目的の角度がラジアンで指定され、固定小数点形式で表現されていると仮定して、回転モードで CORDIC を使用して角度の正弦と余弦を計算する方法を示します。角度の正弦または余弦を決定するには、目的の角度に対応する単位円上の点のy座標またはx座標を見つける必要があります。CORDIC を使用する場合は、ベクトルから開始します。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle v_{0}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.}$

最初の反復では、このベクトルは反時計回りに 45° 回転され、ベクトル が得られます。後続の反復では、目的の角度が達成されるまで、サイズを減少させるステップでベクトルを一方または他方の方向に回転させます。各ステップ角度はの場合です。 ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle \gamma _{i}=\arctan {(2^{-i})}}$${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$

より正式には、各反復で回転を計算します。回転はベクトルに回転行列を掛けることによって実行されます。 ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}.}$

回転行列は次のように与えられる。

${\displaystyle R_{i}={\begin{bmatrix}\cos(\gamma _{i})&-\sin(\gamma _{i})\\\sin(\gamma _{i})&\cos(\gamma _{i})\end{bmatrix}}.}$

三角関数の恒等式を使う:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\gamma _{i})&\equiv {\frac {\sin(\gamma _{i})}{\cos(\gamma _{i})}},\end{aligned}}}$

余弦係数を取り出すと次のようになります。

${\displaystyle R_{i}=\cos(\gamma _{i}){\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}.}$

回転したベクトルの式は次のようになります。 ${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=\cos(\gamma _{i}){\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

ここで、 と はの要素です。各反復の角度を となるように設定しても、すべての可能な出力値に収束する級数が得られます。したがって、正接との乗算は 2 の累乗による除算に置き換えることができます。これは、デジタル コンピュータ ハードウェアでビットシフト を使用することで効率的に実行されます。式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle \tan(\gamma _{i})=\pm 2^{-i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=\cos(\arctan(2^{-i})){\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

回転の方向を決定するために使用されます。角度が正の場合は+1 、そうでない場合は -1 になります。 ${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$

次の三角関数の恒等式を使用して、コサインを置き換えることができます。

${\displaystyle \cos(\gamma _{i})\equiv {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}{\gamma _{i}}}}}}$、

各反復ごとにこの乗数を与えます:

${\displaystyle K_{i}=\cos(\arctan(2^{-i}))={\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}}.}$

その後、係数を反復プロセスから取り出し、スケーリング係数を使用して後で一度に適用することができます。 ${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle K(n)}$

${\displaystyle K(n)=\prod _{i=0}^{n-1}K_{i}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

これは事前に計算され、テーブルに保存されるか、反復回数が固定されている場合は単一の定数として保存されます。この補正は、スケーリングして乗算を節約することで事前に行うこともできます。さらに、^[43]${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K(n)\approx 0.6072529350088812561694}$

アルゴリズムの複雑さをさらに軽減できるようにする。一部のアプリケーションでは、補正を完全に回避し、処理効率を向上させることができる。^[57]${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {1}{K}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}\approx 1.64676025812107.}$

十分な回数の反復を繰り返すと、ベクトルの角度は目的の角度に近くなります。通常のほとんどの目的の場合、小数点第 10 位までの正しい結果を得るには 40 回の反復 ( n  = 40) で十分です。 ${\displaystyle \beta }$

残された唯一のタスクは、各反復で回転を時計回りにするか反時計回りにするかを決定することです ( の値を選択)。これは、各反復で角度がどれだけ回転したかを記録し、それを目的の角度から減算することによって行われます。次に、目的の角度に近づくために、が正の場合は時計回りに回転し、負の場合は反時計回りに回転します。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta _{n+1}}$

${\displaystyle \beta _{0}=\beta }$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-\sigma _{i}\gamma _{i},\quad \gamma _{i}=\arctan(2^{-i}).}$

の値も事前に計算して保存する必要があります。角度が小さい場合は、 で近似してテーブルのサイズを小さくすることができます。 ${\displaystyle \gamma _{n}}$${\displaystyle \arctan(\gamma _{n})\approx \gamma _{n}}$

上の図からわかるように、角度の正弦は最終ベクトルのy座標であり、x座標は余弦値です。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle v_{n},}$

上記の回転モード アルゴリズムでは、任意のベクトル ( x軸に沿った単位ベクトルだけでなく) を -90° から +90° の角度で回転できます。回転方向は、正か負かによって決まります。 ${\displaystyle \beta _{i}}$

ベクトル化モードの動作では、アルゴリズムを少し変更する必要があります。ベクトル化モードは、 x座標が正でy座標が任意のベクトルから始まります。連続した回転の目的は、ベクトルをx軸に回転させることです (したがって、y座標はゼロになります)。各ステップで、 yの値によって回転方向が決まります。の最終値には、回転の合計角度が含まれます。x の最終値は、元のベクトルをKでスケールした大きさになります。したがって、ベクトル化モードの明らかな用途は、直交座標から極座標への変換です。 ${\displaystyle \beta _{i}}$

JavaではMathクラスにscalb(double x,int scale)このようなシフトを実行するメソッドがあり、^[58] Cにはldexp関数があり、^[59] x86クラスのプロセッサにはfscale浮動小数点演算があります。^[60]

 math からatan2 、sqrt 、sin 、cos 、radiansをインポートします     

ITERS  =  16
theta_table  =  [ atan2 ( 1 ,  2 ** i )  iが 範囲内( ITERS )]  

def  compute_K ( n ):
    「」
    n = ITERSのK(n)を計算します。これは次のようにもできます。
    上記の ITERS が固定されている場合は明示的な定数として保存されます。
    「」
     1.0の​ 
     i が 範囲( n )内に ある場合:
        k  *=  1  /  sqrt ( 1  +  2  **  ( - 2  *  i ))
    戻る k

定義 CORDIC (アルファ,  n ):
    K_n  =  compute_K ( n ) です
    シータ =  0.0
    x  =  1.0
    y  =  0.0
    P2i  =  1   # これは以下のループでは2**(-i)になります
     theta_tableのarc_tangent の場合: 
         θ < αの場合、シグマ=  + 1  、それ以外の場合は- 1     
        シータ += シグマ * アークタンジェント
        x 、 y  =  x  - シグマ *  y  *  P2i 、 シグマ *  P2i  *  x  +  y
        P2i  /=  2
     x  *  K_n 、 y  *  K_nを返す

 __name__  ==  "__main__"の場合:
    # -90°から+90°まで15°刻みで計算された正弦と余弦の表を印刷します。
    # 利用可能な数学ルーチンと比較します。
    print ( " x sin(x) diff. sine cos(x) diff. cosine " )
     x が 範囲( - 90 、91 、15 )の 場合:  
        cos_x 、 sin_x  =  CORDIC (ラジアン( x ) 、 ITERS )
        印刷（
            f " { x : +05.1f } °   { sin_x : +.8f } ( { sin_x - sin (ラジアン( x )) : +.8f } ) { cos_x : +.8f } ( { cos_x - cos (ラジアン( x )) : +.8f } )"
        ）

$ python  cordic.py
   x sin(x) diff. sine cos(x) diff.コサイン
-90.0° -1.000000000 (+0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759) 
-75.0° -0.96592181 (+0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499) 
-60.0° -0.86601812 (+0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262) 
-45.0° -0.70711776 (-0.00001098) +0.70709580 (-0.00001098) 
-30.0° -0.50001262 (-0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729) 
-15.0° -0.25883404 (-0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402) 
+00.0° +0.00001759 (+0.00001759) +1.00000000 (-0.00000000) 
+15.0° +0.25883404 (+0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402) 
+30.0° +0.50001262 (+0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729) 
+45.0° +0.70709580 (-0.00001098) +0.70711776 (+0.00001098) 
+60.0° +0.86601812 (-0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262) 
+75.0° +0.96592181 (-0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499) 
+90.0° +1.00000000 (-0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)

CORDIC の実装に必要な論理ゲートの数は、シフトと加算の組み合わせが必要な乗算器に必要な数とほぼ同数です。乗算器ベースと CORDIC ベースのどちらの実装を選択するかは、状況によって異なります。たとえば、実数部と虚数部 (直交座標) で表される 2 つの複素数の乗算には 4 回の乗算が必要ですが、極座標で表される複素数を操作する単一の CORDIC で実現できます。特に、数値の大きさが関係ない場合はそうです (複素ベクトルを単位円上のベクトルに乗算すると、実際には回転になります)。CORDIC は、デジタル ダウン コンバーターなどの通信用回路でよく使用されます。

ウラジミール・バイコフの2つの論文^{[61] [62]}では、アークサイン、アークコサイン、自然対数、指数関数の関数の実装と、双曲関数の計算に二重反復法を使用することが提案されています。二重反復法の特徴は、反復ステップ値が毎回、つまり各反復で変化する古典的なCORDIC法とは異なり、二重反復法では反復ステップ値が2回繰り返され、1回の反復でのみ変化するという点です。そのため、二重反復の次数指標の名称は次のようになっていました。通常の反復では次のようになっていました。二重反復法は、引数の変化の有効範囲全体にわたって方法の収束を保証します。 ${\displaystyle i=0,0,1,1,2,2\dots }$${\displaystyle i=0,1,2\dots }$

基数を持つ任意の位置数システムに対するCORDIC収束問題の一般化は、[ ^63] 正弦、余弦、逆正接関数については、i（i = 0または1からn、nは桁数）の各値、つまり結果の各桁に対して反復を実行するだけで十分であることを示した。自然対数、指数、双曲正弦、余弦、逆正接については、各値に対して反復を実行する必要がある。逆正弦および逆余弦関数については、各数値桁、つまり の各値に対して2回の反復を実行する必要がある。^[63]${\displaystyle R}$${\displaystyle R-1}$${\displaystyle R}$${\displaystyle i}$${\displaystyle R-1}$${\displaystyle i}$

逆双曲正弦関数と逆余弦関数の場合、反復回数は各、つまり結果の桁ごとに になります。 ${\displaystyle 2R}$${\displaystyle i}$

CORDIC は、ヘンリー・ブリッグスの研究から派生した対数アルゴリズムや指数アルゴリズムと同様に、「シフト アンド アド」アルゴリズムのクラスに属します。多くの基本関数の計算に使用できる別のシフト アンド アド アルゴリズムは、対数アルゴリズムと指数アルゴリズムを複素平面に一般化したBKM アルゴリズムです。たとえば、BKM は、の指数 ( ) を計算することで、実角度 (ラジアン単位) の正弦と余弦を計算するために使用できます。BKM アルゴリズムは CORDIC よりも少し複雑ですが、スケーリング係数 ( K )が必要ないという利点があります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle 0+ix}$${\displaystyle \operatorname {cis} (x)=\cos(x)+i\sin(x)}$

• 平方根を計算する方法
• IEEE754 規格
• 浮動小数点ユニット
• Wikibooks のデジタル回路/CORDIC

• Parini, Joseph A. (1966-09-05)。「DIVIC が複雑なナビゲーションの疑問に答える」。エレクトロニクス: 105–111。ISSN 0013-5070  。(注: DIVIC はDIgital Variable Increments Computerの略です。一部の情報源では、これをJM Pariniによるものと誤って記載しています。)
• Anderson, Stanley F.; Earle, John G.; Goldschmidt, Robert Elliott; Powers, Don M. (1965-11-01). 「IBM System/360 モデル 91: 浮動小数点実行ユニット」(PDF) . IBM Journal of Research and Development . 11 (1). Riverton, New Jersey, USA (1967 年 1 月発行): 34–53. doi :10.1147/rd.111.0034. 2016-03-05 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2016-01-02に取得。
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• 米国特許3576983A、コクラン、デビッドS.、「平方根を計算するためのデジタル計算機システム」、1971年5月4日公開、1971年5月4日発行、ヒューレット・パッカード社 に譲渡（[14]）
• Chen, Tien Chi (1972 年 7 月)。「指数、対数、比率、平方根の自動計算」(PDF)。IBM Journal of Research and Development。16 ( 4): 380–388。doi :10.1147/rd.164.0380。ISSN 0018-8646。2016年 8 月 12 日に オリジナル (PDF) からアーカイブ。2016年1月2 日に取得。
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• Egbert, William E. (1977 年 6 月). 「パーソナル電卓アルゴリズム II: 三角関数」(PDF) . Hewlett-Packard Journal . 28 (10). Palo Alto, California, USA: Hewlett-Packard : 17–20. 2016 年 3 月 4 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2016年 1 月 2 日に取得。（[16]）
• Egbert, William E. (1977 年 11 月). 「パーソナル電卓アルゴリズム III: 逆三角関数」(PDF) . Hewlett-Packard Journal . 29 (3). Palo Alto, California, USA: Hewlett-Packard : 22–23. 2016 年 3 月 4 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2016年 1 月 2 日に取得。（[17]）
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WikiversityにはCORDICハードウェア実装に関する学習リソースがあります

• 王、Shaoyun (2011 年 7 月)、CORDIC 書誌サイト、2000 年 10 月 17 日のオリジナルからアーカイブ – Chandra 経由 テキサス大学オースティン校、コックレル工学部、電気・コンピュータ工学科
• ソフト CORDIC IP (Verilog HDL コード)
• CORDIC 書誌サイト
• BASIC スタンプ、CORDIC 数学実装
• Verilog での CORDIC 実装
• 任意の目標値を持つ CORDIC ベクトル化
• Python CORDIC 実装
• 固定小数点 CORDIC 用のシンプルな C コード
• チュートリアルと MATLAB 実装 - CORDIC を使用して複素数の位相を推定する (archive.org)
• C++ および VHDL のテストベンチを使用した Arx でのハードウェア CORDIC の説明
• CORDIC アルゴリズムの紹介
• デジタルダウンコンバータにおけるCORDICアルゴリズムの実装
• CORDIC アルゴリズムの実装: 三角関数と双曲線関数の固定小数点 C コード、テストとパフォーマンス検証の C コード