解析的半群

数学において、解析半群は強連続半群の特別な種類です。解析半群は偏微分方程式の解法に使用されます。強連続半群と比較すると、解析半群は初期値問題に対する解のより規則性、無限小生成子の摂動に関するよりよい結果、および半群のタイプと無限小生成子のスペクトルとの間の関係を提供します。

Γ( t ) = exp( At ) をバナッハ空間( X , ||·||) 上の、無限小生成元Aを持つ強連続な1パラメータ半群とする。Γ が解析的半群であるとは、

• 0 < θ < π/ 2に対して  、連続線型演算子exp( At ) :  X  →  X はt  ∈ Δ _θに拡張でき 、

${\displaystyle \Delta _{\theta }=\{0\}\cup \{t\in \mathbb {C} :|\mathrm {arg} (t)|<\theta \},}$

そして、 s、  t  ∈ Δ _θに対して通常の半群条件が成り立ちます ： exp( A 0) = id、 exp( A ( t  +  s )) = exp( At ) exp( As )、そして、各x  ∈  Xに対して、 exp( At ) x はtで連続です。

• そして、すべてのt∈Δθ\{0}に対して、  exp( At )は一様作用素位相 の意味で_tに関して解析的である。

解析半群の無限小生成元には次のような特徴があります。

バナッハ空間X上の閉じた稠密に定義された 線型作用素 Aが解析的半群の生成元となるのは、半平面Re( λ ) >  ωがAのレゾルベント集合に含まれるようなω  ∈  Rが存在し、さらに、作用素Aのレゾルベントに対して次式が成り立つような定数C が存在する場合のみである。 ${\displaystyle R_{\lambda }(A)}$

${\displaystyle \|R_{\lambda }(A)\|\leq {\frac {C}{|\lambda -\omega |}}}$

Re( λ ) >  ωの場合である。このような演算子はセクター演算子と呼ばれる。この場合、レゾルベント集合は実際には次の形式のセクターを含む。

${\displaystyle \left\{\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|<{\frac {\pi }{2}}+\delta \right\}}$

δ > 0に対しては 、このセクターでも同様のレゾルベント推定が成り立つ。さらに、半群は次のように表される。

${\displaystyle \exp(At)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }e^{\lambda t}(\lambda \mathrm {id} -A)^{-1}\,\mathrm {d} \lambda ,}$

ここでγはe ^{− iθ} ∞からe ^{+ iθ} ∞までの任意の曲線であり、 γは完全にセクター内にある。

${\displaystyle {\big \{}\lambda \in \mathbf {C} :|\mathrm {arg} (\lambda -\omega )|\leq \theta {\big \}},}$

π/ 2 <  θ  < π/ 2 +  δです。

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004)。偏微分方程式入門。応用数学テキスト 13 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. xiv+ 434。ISBN 0-387-00444-0.MR2028503  。​