ダイアディックキューブ

数学において、二項立方体は、 R ⁿ内の異なるサイズまたはスケールの立方体の集まりであり、各スケールの立方体の集合はR ^{n を}分割し、あるスケールの各立方体は、より小さいスケールの立方体の和集合として表すことができます。これらは、計算や解析を容易にするためにオブジェクトを離散化する方法として、数学（特に調和解析）で頻繁に使用されます。たとえば、ユークリッド空間Aの任意の部分集合を調べるには、代わりにその部分集合を、その集合をカバーする特定のサイズの二項立方体の和集合に置き換えることができます。この集合は元の集合のピクセル化されたバージョンと見なすことができ、より小さい立方体を使用すると、集合Aのより明確なイメージが得られます。二項立方体の最も顕著な登場には、ホイットニーの拡張定理とカルデロン-ジグムントの補題があります。

ユークリッド空間では、 2項立方体は^次のように構成できる。各整数kに対して、 R ⁿ内の辺の長さが2 ⁻ _kで頂点 が集合

${\displaystyle 2^{-k}\mathbf {Z} ^{n}=\left\{2^{-k}(v_{1},\dots ,v_{n}):v_{j}\in \mathbf {Z} \right\}}$

_{そしてΔをすべてのΔk}の和集合とします。

これらのキューブの最も重要な機能は次のとおりです。

1. 各整数kに対して、Δk_はRn^を分割します。
2. Δ _k内のすべての立方体の辺の長さは同じで、つまり 2 ^{− k}です。
3. Δ 内の2 つの立方体QとR の内部に空でない交差がある場合、Q はRに含まれるか、またはR はQに含まれます。
4. Δ _k内の各Q は、内部が互いに交わらないΔ _{k +1内の 2} ⁿ個の立方体の和集合として表すことができます。

ここでは「分割」という言葉をやや緩く使用しています。なぜなら、それらの和集合はR ^{n全体ですが、 Δ} _k内の立方体は境界で重なり合う可能性があるからです。ただし、これらの重なりはルベーグ測度がゼロであるため、ほとんどのアプリケーションでは、このわずかに弱い形式の分割が支障になることはありません。

k が大きいほど立方体が小さくなるのも奇妙に思えるかもしれません。k を拡大の度合いと考えることができます。ただし、実際には、Δ k を辺の長さが 2 k または 2 − k の立方体の集合とするの_は^、好み^や利便性の問題です。

ユークリッド空間における二項立方体の欠点の 1 つは、立方体の特定の位置に大きく依存することです。たとえば、上記の二項立方体 Δ の場合、 Δ 内のQ内に任意のボールを含めることはできません(たとえば、中心がゼロの単位ボールを考えてみましょう)。あるいは、ボールを含む立方体が存在する可能性がありますが、ボールと立方体のサイズは大きく異なります。この注意点があるため、2 つ以上の二項立方体のコレクションを同時に操作すると便利な場合があります。

以下は1/3トリックとして知られています: ^[1]

Δ _{k を}上記のスケールkの2項立方体とします。定義

${\displaystyle \Delta _{k}^{\alpha }=\{Q+\alpha :Q\in \Delta _{k}\}.}$

これは、ベクトル α によって平行移動されたΔ _k内の二項立方体の集合です。このような各 α について、 Δ ^{α を}k上のΔ _k ^αの和集合とします。

• 普遍定数C > 0 が存在し、半径r < 1/3 の任意の 球Bに対して、{0,1/3} ⁿ 内に α が存在し、直径がCr以下であるB を含むΔ ^α内の立方体Q が存在する。
• より一般的には、Bが半径r > 0の球体である場合、{0, 1/3, 4/3, 4 ² /3, ...} ^nの範囲 内にαが存在し、 Δ ^{αの範囲内に}Bを含み直径がCr以下である立方体Qが存在します。

3分の1トリックの魅力は、まず定理の2項バージョンを証明し、それから「非2項」定理を演繹できることである。例えば、ハーディ・リトルウッド最大関数を思い出してみよう。

${\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dy}$

ここでf は局所的に積分可能な関数であり、| B ( x ,  r )| は球B ( x ,  r ) の測度を表す。ハーディ・リトルウッドの最大不等式は、積分可能な関数fに対して、

${\displaystyle \left|\{x\in \mathbf {R} ^{n}:Mf(x)>\lambda \}\right|\leq {\frac {C_{n}}{\lambda }}\|f\|_{1}}$

λ > 0 の場合、C _{n は}次元のみに依存する定数です。

この定理は、典型的にはヴィタリの被覆補題を用いて証明される。しかし、上記の不等式を二項極大関数に対して最初に証明することで、この補題を使わずに済む。

${\displaystyle M_{\Delta ^{\alpha }}f(x)=\sup _{x\in Q\in \Delta ^{\alpha }}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}|f(x)|dx.}$

証明は元の定理の証明と似ていますが、二項立方体の特性により、ヴィタリ被覆補題を使用する必要がなくなります。その後、1/3 トリックを使用して元の不等式を導き出すことができます。

二項立方体の類似物は、いくつかの距離空間で構築されることがある。^[2]特に、Xを、倍加測度μ、つまりx∈Xかつr>0に対して次式が成り立つ測度をサポートする距離dを持つ距離空間とする 。

${\displaystyle \mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))}$

ここで、C > 0 はxとrの選択に依存しない普遍定数です。

X がそのような尺度をサポートする場合、集合 Δ _kの集合が存在し、それら (およびそれらの和集合 Δ) は以下を満たします。

• 各整数kに対して、Δk_はXを次のように分割する。

${\displaystyle \mu \left(X\backslash \bigcup \nolimits _{Q\in \Delta _{k}}Q\right)=0.}$

• Δ _k内の全ての集合Q はほぼ同じ大きさである。より具体的には、各Q は中心z _Qを持ち、

${\displaystyle B(z_{Q},c_{1}\delta ^{k})\subseteq Q\subseteq B(z_{Q},c_{2}\delta ^{k})}$

ここで、c ₁、  c ₂、δは測度μの倍加定数Cのみに依存し、 Qとは無関係な正の定数である。

• Δ _k内の各Q は、 Δ _{k −1}内の一意の集合Rに含まれます。
• 定数C ₃、η > 0はμのみに依存し、すべてのkおよびt  > 0に対して、

${\displaystyle \mu \left(\left\{x\in Q:d(x,X\backslash Q)\leq t\delta ^{k}\right\}\right)\leq C_{3}t^{\eta }\mu (Q).}$

これらの条件は、前述の通常のユークリッド立方体の特性と非常によく似ています。最後の条件は、Δ 内の「立方体」Qの境界付近の領域が小さいことを示しています。これは、ユークリッドの場合に当然の特性ですが、調和解析の結果をメトリック空間設定に拡張するために非常に重要です。

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