サスペンション（トポロジー）

数学の一分野である位相幾何学では、位相空間Xの懸垂は、 X を円筒状に引き伸ばし、両端の面を点に折り畳むことで直感的に得られる。X はこれらの端点の間に「吊り下げられている」とみなされる。 Xの懸垂はSX ^[1]またはsusp( X )で示される。^{[2] : 76}

尖端空間に対するサスペンションのバリエーションがあり、これは縮小サスペンションと呼ばれ、Σ Xで表されます。「通常の」サスペンションSX は、 Σ Xと区別するために、Xの非縮小サスペンション、非基底サスペンション、または自由サスペンションと呼ばれることもあります。

位相空間の（自由な）サスペンションはいくつかの方法で定義できます。 ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$

1.は 商空間です。言い換えると、次のように構築できます。 ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \{0\}){\big }}(X\times \{1\}).}$

• 円柱 を構築します。${\displaystyle X\times [0,1]}$
• セット全体を1 つのポイントとして考えます (すべてのポイントを「接着」します)。${\displaystyle X\times \{0\}}$
• セット全体を1 つのポイントとして考えます (すべてのポイントを「接着」します)。${\displaystyle X\times \{1\}}$

2 . これを別の書き方で書くと次のようになります。

${\displaystyle SX:=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},}$

ここで、は 2 つの点であり、{0,1} 内の 各iに対して、 は点 への投影(すべてを にマッピングする関数)です。つまり、サスペンションは、シリンダーを作成し、その面とを投影 に沿った点に接続した結果です。 ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$${\displaystyle X\times \{0\}}$${\displaystyle X\times \{1\}}$${\displaystyle v_{0},v_{1}}$${\displaystyle p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}}$

3. X上の2 つの円錐が底部で 接着されているように見えます。${\displaystyle SX}$

4. は2点からなる 離散空間の結合として定義することもできる。^{[2] : 76}${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\star S^{0},}$${\displaystyle S^{0}}$

5.ホモトピー型理論では、によって生成される高次の帰納的型として定義される。 ${\displaystyle SX}$

サ:${\displaystyle SX}$

なし:${\displaystyle SX}$

${\displaystyle Merid:{\bigl (}X{\bigr )}\to (N=S)}$^[3]

大まかに言えば、S は空間の次元を 1 増やします。たとえば、n ≥ 0 の場合、 n球面は( n + 1) 球面になります。

連続写像 が与えられた場合、角括弧が同値類を表す、によって定義される連続写像が存在する。これは位相空間のカテゴリからそれ自体への関手になる。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y,}$${\displaystyle Sf:SX\rightarrow SY}$${\displaystyle Sf([x,t]):=[f(x),t],}$${\displaystyle S}$

X が基点x _0を持つ尖端空間である場合、より有用な場合があるサスペンションのバリエーションがあります。Xの縮小サスペンションまたは基底サスペンションΣ Xは商空間です。

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)}$。

これは、SXを取り、その両端を結ぶ直線( x ₀ × I )を1点に縮めるのと同等である。尖端空間Σ Xの基点は、( x ₀ , 0 ) の同値類とされる。 

Xの縮小された懸垂線は、 Xと単位円S ¹とのスマッシュ積に同相であることが示せます。

${\displaystyle \Sigma X\cong S^{1}\wedge X}$

CW 複体などの行儀の良い空間の場合、 Xの縮小されたサスペンションは、基底のないサスペンションと ホモトピー同値です。

Σは尖端空間の圏からそれ自身への関手を生じさせる。この関手の重要な性質は、尖端空間をそのループ空間に導く関手の左随伴性を持つことである。言い換えれば、自然な同型性がある。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname {Maps} _{*}\left(X,\Omega Y\right)}$

ここで、 と は尖った空間であり、 は基点を保存する連続写像を表します。この随伴は、次のように幾何学的に理解できます。 は、のすべての非基点に尖った円が接続され 、これらすべての円の基点が同一視され、 の基点に貼り付けられている場合に、 から生じます。ここで、から への尖った写像を指定するには 、これらの尖った円のそれぞれから への尖った写像を与える必要があります 。つまり、(ループ空間 の要素 )内のループの各要素に を関連付ける必要があり、自明なループは の基点に関連付ける必要があります。これはから への尖った写像です。(関係するすべての写像の連続性をチェックする必要があります。) ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}}$${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Omega Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega Y}$

したがって、この付加は、カリー化、つまり直積上の写像をカリー化された形式に変換することに似ており、エックマン-ヒルトン双対性の例です。

この付加は、スマッシュプロダクトの記事で説明した付加の特殊なケースです。

縮小されたサスペンションは、ホモトピー群の準同型を構成するために使用することができ、これにはフロイデンタールのサスペンション定理が適用されます。ホモトピー理論では、サスペンション下で適切な意味で保存される現象が、安定したホモトピー理論を構成します。

サスペンションの例としては、^{[4] : 77、演習1 が挙げられる。}

• n 次元球の懸架は(n+1) 次元球に同相である。

デサスペンションはサスペンションと部分的に逆の操作である。^[5]

• 二重懸垂定理
• 円錐（トポロジー）
• 結合（トポロジー）

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