連続体の濃度

集合論において、連続体の濃度は実数の集合の濃度、すなわち「大きさ」である。${\displaystyle \mathbb {R} }$連続体とも呼ばれる。無限基数であり、で表される。${\displaystyle {\mathbf {\mathfrak {c}}}}$（小文字のフラクトゥール「c」）または${\displaystyle {\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}.}$^{[ 1 ]}

実際の数字${\displaystyle \mathbb {R} }$自然数よりも多い${\displaystyle \mathbb {N} }$。 さらに、${\displaystyle \mathbb {R} }$は、の冪集合と同じ数の要素を持つ。${\displaystyle \mathbb {N} }$象徴的に、${\displaystyle \mathbb {N} }$と表記される$\displaystyle \aleph _{0}}$連続体の濃度は

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.}$

これは、ゲオルク・カントールが1874年に発表した非可算性の証明で証明されたもので、彼の画期的な様々な無限の研究の一部である。この不等式は後に、1891年の彼の対角線論法でより簡潔に述べられた。カントールは濃度を全単射関数を用いて定義した。2つの集合が同じ濃度を持つのは、それらの間に全単射関数が存在する場合に限る。

任意の2つの実数a  < bの間には、どれほど近い値であっても、常に無限に多くの実数が存在し、カントールはそれらの数が実数全体の集合に含まれる実数の数と同じであることを示した。言い換えれば、開区間( a , b ) は実数全体の集合に含まれる実数の数と同じである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$、また、任意のn次元ユークリッド空間などの他のいくつかの無限集合にも適用できます。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（空間充填曲線を参照）。つまり、

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

最小の無限基数は$\displaystyle \aleph _{0}}$（アレフヌル）。2番目に小さいのは$\displaystyle \aleph _{1}}$（アレフワン）。連続体仮説とは、濃度が厳密に の間にある集合は存在しないと主張するものである。$\displaystyle \aleph _{0}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$つまり、${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$^{[ 2 ]}この仮説は、広く用いられている選択公理付きツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）とは独立している。つまり、ZFCではこの仮説が真であることも偽であることも証明できない。

ベス数のシーケンスは次のように定義されます${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$そして${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$。 それで${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$2番目のベス数、ベス1：

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

3 番目のベス数、ベス 2は、${\displaystyle \mathbb {R} }$（つまり、実数直線のすべての部分集合の集合）：

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

連続体仮説は次のように主張する。${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$また、2番目のアレフ番号でもあります。${\displaystyle \aleph _{1}}$^{[ 2 ]}言い換えれば、連続体仮説は、集合が存在しないことを述べている。${\displaystyle A}$その濃度は厳密に${\displaystyle \aleph _{0}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad$ :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}

この命題は、クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって示されたように、選択公理を持つツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）の公理とは独立であることが現在では知られています。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}つまり、仮説とその否定の両方がこれらの公理と矛盾しません。実際、すべての非ゼロの自然数nに対して、等式は、${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$=${\displaystyle \aleph _{n}}$ZFCとは無関係である（ケース）${\displaystyle n=1}$（連続体仮説である）。他のほとんどのアレフについても同様であるが、場合によっては、共終結性に基づいてケーニッヒの定理により等号が除外されることがある（例：${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$）。 特に、${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$どちらでも${\displaystyle \aleph _{1}}$または${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$、 どこ${\displaystyle \omega _{1}}$は最初の不可算序数なので、後継基数または限界基数のいずれかであり、通常の基数または単数基数のいずれかである可能性があります。

数学で研究される多くの集合の濃度は${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$一般的な例としては、以下のようなものがあります。

濃度がより大きい集合${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$含む：

• すべての部分集合の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$（つまり、べき集合）${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$）
• 実数の部分集合上で定義された指示関数の集合2 ^{R (集合}${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$は同型である${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ （指示関数は、各部分集合から含める要素を選択します）
• セット${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$すべての機能から${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ルベーグσ代数の${\displaystyle \mathbb {R} }$すなわち、すべてのルベーグ可測集合の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$。
• からのすべてのルベーグ積分可能な関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$
• からのすべてのルベーグ可測関数の集合${\displaystyle \mathbb {R} }$に${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Stone –Čech コンパクト化${\displaystyle \mathbb {N} }$、${\displaystyle \mathbb {Q} }$、 そして${\displaystyle \mathbb {R} }$
• （離散）複素数体のすべての自己同型写像​​の集合。

これらはすべて基数を持つ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$（ベス2）。

• 連続体の基本的な特徴

• ポール・ハルモス著『素朴集合論』プリンストン、ニュージャージー州：D・ヴァン・ノストランド社、1960年。シュプリンガー・フェルラーク社（ニューヨーク）より1974年に復刻。ISBN 0-387-90092-6（シュプリンガー・フェルラーク版）
• Jech, Thomas、2003年。『集合論：第三千年紀版、改訂増補版』。Springer。ISBN 3-540-44085-2。
• クネン、ケネス、1980年。『集合論：独立性証明入門』エルゼビア。ISBN 0-444-86839-9。

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