連続体の基本特性

数学の分野である集合論において、連続体の基数特性とは、 （自然数の集合の基数）と連続体の基数、つまりすべての実数の集合の基数との間に厳密に矛盾なく存在する無限基数である。後者の基数は、またはで表される。このようなさまざまな基数特性が自然に生じ、それらの間のどのような関係が証明可能であるかを決定したり、それらのさまざまな矛盾のない構成に対して集合論のモデルを構築したりする多くの研究が行われてきた。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

カントールの対角線論証は、が よりも確実に大きいことを示していますが、が よりも大きい最小の基数（つまり、）であるかどうかは指定していません。実際、 という仮定はよく知られた連続体仮説であり、これはKurt Gödelによって集合論の標準的なZFC 公理と整合し、 Paul Cohenによってそれとは独立であることが示されました。連続体仮説が成り立たず、したがって が少なくとも である場合、厳密にとの間にある基数、たとえばルベーグ測定可能性に関する疑問が自然に生じます。ある特性を持つ最小基数を考慮することにより、一貫して よりも小さい非可算基数の定義を得ることができます。一般に、 よりも大きく、最大でも である基数の定義は連続体の基数特性としてのみ考慮されるため、連続体仮説が成り立つ場合、それらはすべて に等しくなります。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

集合論の標準に従い、最小の無限順序数を で表します。これは濃度 を持ち、自然数の集合と同一視できます。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

ルベーグ零集合のイデアルや希薄集合のイデアルなど、実数の構造と密接に関係するイデアルに対する基数不変量として、いくつかの基数特性が自然に生じます。

基数特性は、非測定集合の最小基数です。つまり、ルベーグ零集合ではない集合の最小基数です。 ${\displaystyle {\text{non}}({\mathcal {N}})}$

からまでの関数の集合を で表します。任意の 2 つの関数と に対して、有限個を除くすべての に対して となることを で表します。境界数は、この関係における非境界集合の最小の濃度、つまり、${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle f:\omega \to \omega }$${\displaystyle g:\omega \to \omega }$${\displaystyle f\leq ^{*}g}$${\displaystyle n\in \omega ,f(n)\leq g(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(g\nleq ^{*}f)\}).}$

支配数とは、 からへの関数の集合の最小の濃度であり、そのような関数はすべてその集合の要素によって支配される（つまり、）ものである。つまり、 ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(f\leq ^{*}g)\}).}$

明らかに、そのような支配集合は非有界であるため、 は最大で であり、対角化の議論により であることが示される。もちろん、これが を意味する場合、しかしヘヒラー^[1]はが より厳密に小さいことも一貫していることを示した。${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}>\aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {d}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}.}$

のすべての無限部分集合の集合を で表します。任意の に対して、と が両方とも無限である場合にを分割するといいます。分割数とは、すべての に対してを分割するような が存在するの部分集合の最小の濃度です。つまり、${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle a,b\in [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle b\cap a}$${\displaystyle b\setminus a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle b\in [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).}$

刈り取り数 とは、 のどの要素も のどの要素も分割しない の部分集合の最小の濃度です。つまり、${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).}$

超フィルタ数は、上の非主超フィルタのフィルタ基底の最小濃度として定義されます。Kunen ^[2]は、 が であり、サックス強制の可算サポート反復を使用する集合論のモデルを与え、Baumgartner と Laver ^{[3] は}、 が であり、 であるモデルを構築しました。 ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\omega _{1}},}$${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$

が有限である場合、の2 つの部分集合とはほぼ互いに素であるといい、の部分集合の族は、そのメンバーが 1 対 1 でほぼ互いに素である場合に、ほぼ互いに素であるといいます。の部分集合の最大ほぼ互いに素(" mad ") 族とは、に含まれないの すべての部分集合に対して、と がほぼ互いに素ではない (つまり、それらの共通部分は無限である) ような集合が存在するような、ほぼ互いに素の族のことです。ほぼ互いに素な数は、無限最大ほぼ互いに素の族の最小の基数です。基本的な結果^[4]は です 。Shelah ^{[5] は、}厳密な不等式 を持つことが一貫していることを示しました。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |A\cap B|}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}}$

基数特性のよく知られた図はCichoń の図であり、これは 10 個の基数特性間の ZFC で証明可能なすべてのペアワイズ関係を示します。

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