Loading article…
確率と統計学において、壷問題とは、実際に興味のあるいくつかのオブジェクト (原子、人、車など) が壷または他の容器内の色付きのボールとして表現される、理想的な頭脳演習です。壷から 1 つ以上のボールを取り出すふりをします。目的は、ある色または別の色、またはその他の特性を引き出す確率を決定することです。以下に、いくつかの重要なバリエーションについて説明します。
壷モデルは、壷問題内のイベントを記述する確率の集合、または壷問題に関連するランダム変数の確率分布、またはそのような分布の族のいずれかです。 [1]
歴史
ヤコブ・ベルヌーイは『予想の技術』（1713年）で、壺から取り出された小石の数が与えられた場合に、壺内の異なる色の小石の割合を決定する問題を検討しました。この問題は逆確率問題として知られ、18世紀の研究テーマとなり、アブラハム・ド・モアブルやトーマス・ベイズの注目を集めました。
ベルヌーイはラテン語のurnaという単語を使った。これは主に土器を意味するが、古代ローマでは投票用紙やくじを集めるためのあらゆる種類の容器を指す言葉でもあった。今日のイタリア語やスペイン語で投票箱を意味する単語もurnaである。ベルヌーイの着想は宝くじ、選挙、または容器からボールを引く運試しのゲームだった可能性があり、中世およびルネサンス期のヴェネツィアでの選挙（ドージェの選挙も含む）では、壷から引き出された異なる色のボールを使用してくじで選挙人を選出することが多かったと主張されている。[2]
基本的な骨壷モデル
確率論におけるこの基本的な壷モデルでは、壷の中にx個の白玉とy個の黒玉がよく混ぜ合わされています。壷からランダムに1個の玉が取り出され、その色が観察されます。その後、その玉は壷に戻され（または戻されず）、選択プロセスが繰り返されます。[3]
このモデルで回答できる可能性のある質問は次のとおりです。
- n 回の観測から白ボールと黒ボールの割合を推測できますか? どの程度の信頼度で推測できますか?
- xとy がわかっている場合、特定のシーケンス (たとえば、白 1 枚の後に黒 1 枚が続く) を引く確率はどれくらいでしょうか。
- n 個のボールしか観察しない場合、黒いボールがないと確信できるでしょうか? (最初の質問と 2 番目の質問の両方のバリエーション)
骨壷の問題の例
- ベータ二項分布: 上記と同じですが、ボールが観察されるたびに、同じ色のボールが壷に追加されます。したがって、壷内のボールの合計数が増加します。ポリア壷モデルを参照してください。
- 二項分布：黒と白のボールが入った壺にn回ボールを入れ替えて抽選を行った場合、白ボールが抽出される成功した抽選（試行）回数の分布。[3]
- ホッペ壷:ミューテーターと呼ばれる追加のボールが付いたポリア壷。ミューテーターが引かれると、完全に新しい色の追加のボールと一緒に置き換えられます。
- 超幾何分布: 一度取り出されたビー玉は壷に戻されません。したがって、壷内のビー玉の総数は減少します。これは、「交換ありの抽選」の反対で、「交換なしの抽選」と呼ばれます。
- 多変量超幾何分布：一度取り出したボールは壷に戻されず、2色以上のボールが壷に戻される。[3]
- 幾何分布：最初の成功した（正しい色の）抽選までの抽選回数。[3]
- 混合置換/非置換: 壷にはx個の白玉とy個の黒玉が入っています。黒玉は抽選後に脇に置かれますが(非置換)、白玉は抽選後に壷に戻されます(置換)。m回の抽選後にk個の黒玉が抽選される確率P(m,k)は、式を使用して再帰的に計算できます。[4]
- 多項分布：2色以上のボールがあります。ボールが取り出されるたびに、別のボールを引く前にボールが戻されます。[3]これは「ボールをビンに入れる」とも呼ばれます。
- 負の二項分布: 特定の数の失敗 (誤って色付けされた抽選) が発生するまでの抽選回数。
- 占有問題: k 個のボールをn個の壷にランダムに割り当てた後の占有された壷の数の分布。クーポン収集者の問題および誕生日の問題に関連しています。
- ポリア・ウルン: 特定の色のボールが引かれるたびに、同じ色の追加のボールと置き換えられます。
- 統計物理学：エネルギー分布と速度分布の導出。
- エルズバーグのパラドックス。
参照
参考文献
- ^ドッジ、ヤドラー （ 2003）オックスフォード統計用語辞典、OUP。ISBN 0-19-850994-4
- ^ Mowbray, Miranda & Gollmann, Dieter. 「ヴェネツィア総督の選出：13世紀の議定書の分析」。2007年7月12日閲覧。
- ^ abcde 壷モデル: 簡単な定義、例、応用 — 基本的な壷モデル
- ^ Matheplanet: アイン・ウルネン問題 - リローデッド