優先的添付

優先的愛着プロセスとは、ある量、通常は何らかの形の富や信用が、すでに持っている量に応じて多数の個人または物体に分配され、すでに裕福な人がそうでない人よりも多く受け取るような一連のプロセスのいずれかです。「優先的愛着」は、このようなプロセスに付けられた多くの名前のうちの最新のものです。ユール過程、累積的優位性、金持ちはさらに裕福になる、マシュー効果とも呼ばれます。また、ジブラの法則とも関連があります。優先的愛着が科学的に関心を集めている主な理由は、適切な状況下ではべき乗法則分布を生成できることです。^[1]優先的愛着が非線形である場合、測定された分布はべき乗法則から外れる場合があります。^[2]これらのメカニズムは、過渡期にほぼべき乗法則である分布を生成する場合があります。^{[3] [4]}

優先的付着プロセスは確率的 壷プロセスであり、通常「ボール」と呼ばれる個別の富の単位が、通常「壷」と呼ばれる一連のオブジェクトまたはコンテナにランダムまたは部分的にランダムに追加されるプロセスを意味します。優先的付着プロセスは、追加のボールがシステムに継続的に追加され、壷にすでにあるボールの数の増加関数として壷に分配される壷プロセスです。最も一般的に研究されている例では、壷の数も継続的に増加しますが、これは優先的付着の必要条件ではなく、壷の数が一定または減少する例が研究されています。

優先的付着過程の典型的な例としては、生物の高等分類群における属当たりの種の数の増加があげられる。 ^[5] 新しく出現した種が先行種と十分に異なっており、現在の属のいずれにも属さないと判断された場合、新しい属（「壷」）が分類群に追加される。古い種が種分化（2つに分裂）すると新しい種（「玉」）が追加され、新しい種が親と同じ属に属すると仮定すると（新しい属を開始する種を除く）、属に新しい種が追加される確率はその属がすでに持つ種の数に比例する。英国の統計学者ウドニー・ユールが初めて研究したこの過程は、属が新しい種を獲得する速度が属がすでに持つ種の数に比例するため、 線形優先付着過程である。

壷の数が増える線形優先付着プロセスは、いわゆるユール分布に従って壷上のボールの分布を生成することが知られています。プロセスの最も一般的な形式では、新しい壷ごとにm 個の新しいボールの全体的な速度でボールがシステムに追加されます。新しく作成された各壷はk _{0 個の}ボールから始まり、壷にはすでにあるk個のボールに定数a  > − k ₀を加えた値に比例した速度でさらにボールが追加されます。これらの定義により、長時間の限界でk 個のボールを持つ壷の割合P ( k ) は次のように与えられます^[6]

$${\displaystyle P(k)={\mathrm {B} (k+a,\gamma ) \over \mathrm {B} (k_{0}+a,\gamma -1)},}$$

k  ≥  k ₀（それ以外はゼロ）の場合、B( x ,  y )はオイラーベータ関数である。

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over \Gamma (x+y)},}$$

ここでΓ( x )は標準ガンマ関数であり、

$${\displaystyle \gamma =2+{k_{0}+a \over m}.}$$

ベータ関数は、xが大きくyが固定されている場合、B( x ,  y ) ~  x ^{− y}として漸近的に振舞う。これは、 kが 大きい場合、

$${\displaystyle P(k)\propto k^{-\gamma }.}$$

言い換えれば、優先的付着プロセスは、パレート分布またはべき乗法則に従う「長い尾を持つ」分布をその尾で生成します。これが、優先的付着に対する歴史的関心の主な理由です。種の分布や他の多くの現象は、経験的にべき乗法則に従うことが観察されており、優先的付着プロセスはこの動作を説明する有力な候補メカニズムです。優先的付着は、とりわけ、都市の規模の分布、^[7]非常に裕福な個人の富、^[7]学術出版物の引用数、^[8]および World Wide Web 上のページへのリンク数などの候補であると考えられています。^[1]

ここで説明した一般的なモデルには、特別なケースとして他の多くの特定のモデルが含まれています。たとえば、上記の種/属の例では、各属は単一の種（k ₀  = 1）から始まり、すでに持っている数に正比例して新しい種を獲得します（a  = 0）。したがって、P（k）= B（k、  γ）/ B（k ₀、  γ  −1）で、 γ =2 + 1/ mです。同様に、科学的引用に関するPriceモデル^[8]は、 k ₀  = 0、a = 1の場合に対応し 、広く研究されているBarabási-Albertモデル^[1]は、k ₀  =  m、a = 0に対応します 。

優先的愛着はマタイ効果と呼ばれることもあるが、この 2 つは厳密には同等ではない。ロバート・K・マートン^{[9]が初めて論じたマタイ効果は、}聖書の マタイによる福音書の一節にちなんで名付けられた。「おおよそ、持っている人はさらに与えられ、豊かになる。持っていない人は、持っているものまでも取り上げられるであろう。」（マタイ25:29、新国際訳）優先的愛着のプロセスには、奪い取る部分は含まれない。しかし、この点は議論の余地があるかもしれない。なぜなら、マタイ効果の背後にある科学的洞察はいずれにしてもまったく異なるからである。質的に、マタイ効果は優先的愛着のような機械的な乗算効果ではなく、あまり知られていない人よりも有名な人の功績を認める傾向がある特定の人間の行動を説明することを意図している。マタイ効果の典型的な例は、2 人の異なる人物、1 人はよく知られ、もう 1 人はよく知られていない人物によって同時に行われた科学的発見である。このような状況では、人々はその発見を有名な科学者の功績と認める傾向が強いとされている。したがって、マシュー効果が説明しようとしている現実世界の現象は、優先的愛着とはまったく異なります（ただし、確かに関連しています）。

優先的付着に関する最初の厳密な考察は、1925 年のUdny Yuleによるものと思われます。彼は、この考え方を使って、顕花植物の属ごとの種の数のべき乗分布を説明しました。^[5] このプロセスは、彼に敬意を表して「ユール プロセス」と呼ばれることもあります。ユールは、このプロセスによってべき乗分布の裾野が生じることを証明できましたが、彼の証明の詳細は、今日の基準からすると、複雑で難しいものです。これは、確率過程理論の現代的なツールがまだ存在せず、より面倒な証明方法を使わざるを得なかったためです。

優先的付着に関する現代の研究のほとんどはマスター方程式法を利用しており、この文脈での使用は1955年にサイモンが都市の規模の分布やその他の現象に関する研究で初めて試みた。^[7]

優先的付着を引用文献に初めて適用したのは、1976 年のプライスでした。 ^[8] (彼はこのプロセスを「累積的優位性」プロセスと呼びました。) また、このプロセスをネットワークの成長に初めて適用したのもプライスであり、現在スケールフリー ネットワークと呼ばれるものを生み出しました。このプロセスは現在、ネットワークの成長という文脈で最も頻繁に研究されています。プライスはまた、ロトカの科学的生産性の法則やブラッドフォードのジャーナル使用の 法則など、他の多くの現象のべき乗法則を説明できるとして、優先的付着を推奨しました。

優先的付着をワールドワイドウェブの成長に適用することは、1999年にバラバシとアルバートによって提案されました。 ^{[1]バラバシとアルバートは、今日このプロセスに最もよく知られている「優先的付着」という名前も作り出し、このプロセスが他のネットワークの成長にも適用できるかもしれないと示唆しました。成長するネットワークの場合、優先的付着の正確な機能形式は}、最大尤度推定 によって推定できます。^[10]