5キューブ

5 次元 幾何学において、5次元立方体は、 32 個の頂点、80 個の辺、80 個の正方形面、40 個の立方体セル、および 10 個の 4次元四面体を持つ 5 次元超立方体の名称です。

これは、シュレーフリ記号{4,3,3,3} または {4,3 ^{3 } で表され、各立方体の}尾根の周りに 3 つの四次元方陣 {4,3,3} として構築されます。

これは無限超立方体族の一部です。5立方体の双対は、無限の正方体族の5 正方体です。

交代操作を適用して、5 次元立方体の交互の頂点を削除すると、5 次元半立方体と呼ばれる別の均一な 5 次元多面体が作成されます。これは、半超立方体と呼ばれる無限ファミリーの一部でもあります。

5 次元立方体は、4 次元球面上の3 次元テッセラティック ハニカムとして考えることができます。これは、ユークリッド 4 次元空間 (4 次元)テッセラティック ハニカムおよびパラコンパクト双曲型ハニカム5 次元テッセラティック ハニカムと関連しています。

この配置行列は5 次元立方体を表します。行と列は頂点、辺、面、セル、4 面に対応します。対角の数字は、5 次元立方体全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内または行の要素にいくつ出現するかを示します。^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}32&5&10&10&5\\2&80&4&6&4\\4&4&80&3&3\\8&12&6&40&2\\16&32&24&8&10\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

原点を中心とし、辺の長さが2である5次元立方体の頂点の 直交座標は、

(±1、±1、±1、±1、±1)、

一方、この 5 次元立方体の内部は、すべてのiに対して -1 < x _i < 1を満たすすべての点 ( x ₀、x ₁、x ₂、x ₃、x ₄ )で構成されます。

B _kコクセター群のn立方コクセター平面射影はk 立方グラフに射影され、射影グラフでは 2 つの頂点のべき乗が重なり合います。

5 次元立方体は、菱形 20面体のエンベロープを使用して 3 次元に投影できます。外部頂点は 22 個、内部頂点は 10 個あります。内部頂点 10 個は、五角形逆プリズムの凸包を持ちます。80 個の辺は、40 個の外部辺と 40 個の内部辺に投影されます。40 個の立方体は、菱形 20 面体を分解するために使用できる黄金菱形に投影されます。投影ベクトルは、u = {1, φ, 0, -1, φ}、v = {φ, 0 , 1, φ, 0}、w = {0, 1, φ, 0, -1} です。ここで、φ は黄金比です。${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

立方体を 2 次元空間に投影するのと同様に、ペンタラクト (五角形) を 3 次元空間に投影することも可能です。

5次元立方体は、コクセター群の対称性 B ₅、抽象構造、位数 3840 を持ち、25 個の反射超平面を含む。5次元立方体のシュレーフリ記号{4,3,3,3} は、コクセター表記の対称性 [4,3,3,3] と一致する。 ${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$

すべての超立方体は、プリズムとして構築された低対称形式を持ちます。5 次元立方体には、最低の 5 次元直交体、{} ⁵から、直交辺の長さが等しくなるように制約されている上方まで、7 つのプリズム形式があります。プリズムの頂点は、要素の頂点の積に等しくなります。プリズムの辺は、要素の辺の数と他のすべての要素の頂点の数を掛け合わせた数に分割できます。

5 キューブはハイパーキューブシリーズの 5 番目です。

正斜多面体 { 4,5| 4}は、32の頂点、80の辺、40の正方形の面を持つ5次元立方体内で実現でき、5次元立方体の残りの40の正方形の面は正方形の穴になります。

この多面体は、正則 5 次元立方体または5 次元正多面体から生成される 31 個の均一な 5 次元多面体のうちの 1 つです。

• HSMコクセター:
  • Coxeter, Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN  0-486-61480-8、p. 296、表 I (iii): Regular Polytopes、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5)
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. (1966)
• Klitzing、Richard。「5D 均一多面体 (ポリテラ) o3o3o3o4x - pent」。

• Weisstein、Eric W.「ハイパーキューブ」。MathWorld。
• Olshevsky, George. 「Measure polytope」. Hyperspace の用語集。2007 年 2 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• 多次元用語集: ハイパーキューブ ギャレット・ジョーンズ
• Maltsev、Nick E. https://www.asymptotos.com/wp-content/uploads/2023/07/Cube_5.html