半順序集合トポロジー

数学では、半順序集合( S , ≤)に関連付けられた半順序集合位相は、包含関係によって順序付けられた( S , ≤) の有限鎖の半順序集合上のアレクサンドロフ位相(開集合は上側集合) です。

V を頂点の集合とする。抽象単体複体Δ は、面と呼ばれる有限個の頂点の集合である。${\displaystyle \sigma \subseteq V}$、したがって

${\displaystyle \forall \rho \,\forall \sigma \!:\ \rho \subseteq \sigma \in \Delta \Rightarrow \rho \in \Delta .}$

上記のように単体複体Δが与えられたとき、部分集合を宣言することによって、Δ上の（点集合）位相を定義します。${\displaystyle \Gamma \subseteq \Delta }$Γが単体複体である場合に限り閉じている、すなわち

${\displaystyle \forall \rho \,\forall \sigma \!:\ \rho \subseteq \sigma \in \Gamma \Rightarrow \rho \in \Gamma .}$

これは、Δの面の順序集合上のアレクサンドロフ位相である。

半順序集合 ( S , ≤)に関連付けられた順序複体は、集合Sを頂点とし、( S , ≤) の有限鎖を面とする。半順序集合 ( S , ≤)に関連付けられた半順序集合位相は、 ( S , ≤)に関連付けられた順序複体上のアレクサンドロフ位相である。

• 位相的組み合わせ論

• 半順序集合トポロジー：ツールと応用 ミシェル・L・ワックス、講義ノート IAS/パークシティ大学院幾何学的組み合わせ論サマースクール（2004年7月）