アレフ番号

数学、特に集合論において、アレフ数は無限集合の濃度（またはサイズ）を表すために用いられる数列である。^{[ a ]}これらは数学者ゲオルク・カントール^{[ 1 ]}によって導入され、彼がそれらを表すために用いた記号、ヘブライ文字のアレフ（ℵ）にちなんで名付けられた。^{[ 2 ] [ b ]}

無限集合の最小濃度は自然数であり、 で表される。$\displaystyle \aleph _{0}}$（アレフゼロ、アレフヌルと読みます）；整列集合の次の大きな濃度は${\displaystyle \aleph _{1},}$それから${\displaystyle \aleph _{2},}$それから${\displaystyle \aleph _{3},}$などなど。このようにして続けると、無限基数を定義することができる。$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$すべての序数${\displaystyle \alpha ,}$以下に説明するとおり。

この概念と表記法はゲオルク・カントール^{[ 5 ]}によるもので、 彼は濃度の概念を定義し、無限集合が異なる濃度を持つ可能性があることに気づいた。

アレフ数は無限大とは異なります（${\displaystyle \infty }$代数や微積分でよく見られるアレフは集合の大きさを測るものであり、無限は一般的に実数直線の極限（「無限に発散する」または「際限なく増加する」関数や数列に適用される）または拡張実数直線の極点として定義される。

$\displaystyle \aleph _{0}}$（アレフゼロ、アレフヌル）は、すべての自然数の集合の濃度であり、無限基数です。すべての有限順序数の集合は、${\displaystyle \omega }$または$\displaystyle \omega _{0}}$（どこ${\displaystyle \omega }$はギリシャ文字の小文字オメガであり、基数性も持つ。$\displaystyle \aleph _{0}}$集合の濃度は$\displaystyle \aleph _{0}}$可算無限集合である場合、すなわち、自然数との間に全単射（1対1対応）が存在する場合に限り、そのような集合が存在する。そのような集合の例としては、以下のようなものがある。

• 自然数の集合（ゼロを含むか含まないかは問わない）
• すべての整数の集合、
• 整数の任意の無限部分集合、例えばすべての平方数の集合やすべての素数の集合など。
• すべての有理数の集合、
• （幾何学的な意味での）すべての構成可能な数の集合、
• すべての代数的数の集合、
• 計算可能なすべての数の集合、
• 計算可能な関数の集合、
• 有限長のすべてのバイナリ文字列の集合、
• 任意の可算無限集合のすべての有限部分集合の集合。

可算無限集合の中には、例えば以下のような無限順序数が含まれる。 ^{[ c ]}${\displaystyle \omega }$、${\displaystyle \omega +1}$、${\displaystyle \omega \cdot 2}$、$\displaystyle \omega ^{2}}$、${\displaystyle \omega ^{\omega }}$、 そして$\displaystyle \varepsilon _{0}}$[ ^{6 ]}例えば、シーケンス（順序タイプ付き^）${\displaystyle \omega \cdot 2}$）すべての正の奇数に続いてすべての正の偶数が続く${\displaystyle \{1,3,5,7,9,\cdots ;2,4,6,8,10,\cdots \}}$は集合の整列である（濃度は$\displaystyle \aleph _{0}}$）正の整数の。

可算選択公理（選択公理の弱いバージョン）が成り立つならば、$\displaystyle \aleph _{0}}$他のどの無限基数よりも小さい。

$\displaystyle \aleph _{1}}$は、可算順序数全体の集合の濃度である。^{[ 7 ]}この集合は、で表される。$\displaystyle \omega _{1}}$（またはΩの場合もある）。$\displaystyle \omega _{1}}$はそれ自体がすべての可算数よりも大きい順序数なので、それは非可算集合です。したがって、 $\displaystyle \aleph _{1}}$は、より大きい最小の濃度です${\displaystyle \aleph _{0},}$最小の無限濃度。

の定義$\displaystyle \aleph _{1}}$（選択公理のないツェルメロ・フレンケル集合論 では）基数は の間に存在しないことを意味する$\displaystyle \aleph _{0}}$そして$\displaystyle \aleph _{1}.}$選択公理を用いると、基数のクラスは全順序であることがさらに証明され、したがって$\displaystyle \aleph _{1}}$は2番目に小さい無限基数です。集合の最も有用な性質の1つを示すことができます。$\displaystyle \omega _{1}}$⁠ : 可算部分集合$\displaystyle \omega _{1}}$上限は$\displaystyle \omega _{1}}$（これは、可算個の可算集合の和集合自体が可算集合であるという事実から導かれる。）この事実は、次の状況と類似している。$\displaystyle \aleph _{0}}$: 有限個の自然数の集合には最大値が存在し、その最大値もまた自然数である。また、有限個の集合の有限個の和集合は有限である。

序数の応用例$\displaystyle \omega _{1}}$これは可算性演算に関して「閉じる」ことを意味します。例えば、任意の部分集合の集合によって生成されるσ代数を明示的に記述しようとする場合などです（例えば、ボレル階層を参照）。これは、代数における「生成」の明示的な記述（ベクトル空間、群など）よりも難しいです。なぜなら、これらの場合、有限演算（和、積など）に関して閉じるだけでよいからです。このプロセスでは、各可算順序数に対して、超限帰納法を用いて、すべての可能な可算和と補集合を「投入」し、それらすべての和集合をすべての集合に対して取ることによって、集合を定義します。${\displaystyle \omega _{1}.}$

実数集合の濃度（連続体の濃度）は2である。^{$\displaystyle \aleph _{0}}$}ZFC（選択公理で拡張されたツェルメロ・フレンケル集合論）から、この数がアレフ数階層のどこに正確に当てはまるかを決定することはできないが、ZFCから連続体仮説（CH）が恒等式と等価であることが導かれる。

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$[ ^{8 ]​}

CH は、自然数と実数の濃度の間に厳密に収まる濃度を持つ集合は存在しないと述べています。^{[ 9 ]} CH は ZFC とは独立しています。ZFC の公理系の範囲内では、CH を証明することも反証することもできません (ZFC が無矛盾である場合)。CH が ZFC と無矛盾であることは、1940 年にクルト・ゲーデルが、その否定が ZFC の定理ではないことを示したことで証明されました。CH が ZFC とは独立していることは、1963 年にポール・コーエンが、逆に強制法 (当時は斬新な方法) を用いて CH 自体が ZFC の定理ではないことを示したことで証明されました。^{[ 8 ] [ 10 ]}

アレフ・オメガは${\displaystyle \aleph _{\omega }=\aleph _{n}^{n\in \omega }=\aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}}$ここで、最小の無限順序数は次のように表される。${\displaystyle \omega }$つまり、基数${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は、​$\displaystyle \aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}}$。

特に、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は、ツェルメロ・フレンケル集合論において、すべての実数の集合の濃度と等しくないことが証明できる最初の非可算基数である。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$: 任意の自然数に対して${\displaystyle n\geq 1}$我々は一貫して次のように仮定することができる$\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}}$さらに、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$は、少なくとも任意の基数と同じくらい大きい。ZFC が の値に課す主な制約は、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$それは、特定の特別な基数と共終性で等しくすることはできないということである。$\displaystyle \aleph _{0}}$数えきれない無限基数${\displaystyle \kappa }$共終結性を持つ$\displaystyle \aleph _{0}}$（可算長の）数列が存在することを意味する$\displaystyle \kappa _{0}\leq \kappa _{1}\leq \kappa _{2}\leq \cdots }$枢機卿の${\displaystyle \kappa _{i}<\kappa }$その限界（つまり、その最小上限）は${\displaystyle \kappa }$（イーストンの定理を参照）。上記の定義によれば、${\displaystyle \aleph _{\omega }}$これは、より小さな基数の可算長列の極限です。

定義する$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$任意の序数${\displaystyle \alpha }$後継基数演算を定義する必要があります。これは任意の基数に を割り当てます。${\displaystyle \rho }$次に大きい整然とした枢機卿$\displaystyle \rho ^{+}}$（選択公理が成り立つ場合、これは（唯一の）次のより大きな基数である。）

すると、アレフ数を次のように定義できる。

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

$\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=(\aleph _{\alpha })^{+}}$

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup \{\aleph _{\alpha }|\alpha <\lambda \}}$のために${\displaystyle \lambda }$無限限界順序数、

の${\displaystyle \alpha }$- 番目の無限序数は次のように書かれます${\displaystyle \omega _{\alpha }}$その濃度は次のように表記されます。$\displaystyle \aleph _{\alpha }}$。

あるいは、すべての無限基数に対して${\displaystyle \kappa }$整列可能なインデックスは、その前に来るすべての無限基数の整列集合の順序数として定義できます。${\displaystyle \kappa }$すると、超限帰納法によって、次のことが証明できる。${\displaystyle \alpha }$インデックスにおいて${\displaystyle \kappa }$それから$\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha }}$

非公式には、アレフ機能は${\displaystyle \aleph$ :{\text{On}}\rightarrow {\text{Cd}}} は順序数から整列可能な無限基数への全単射です。形式的には、 ZFCでは、${\displaystyle \aleph }$は関数ではなく、関数のようなクラスです。なぜなら、集合ではないからです（ Burali-Fortiのパラドックスによる）。

任意の序数${\displaystyle \alpha }$我々は持っています$\alpha \leq \omega _{\alpha }}$。

多くの場合${\displaystyle \omega _{\alpha }}$は厳密にαより大きい。例えば、任意の後続順序数に対しては、次のことが成り立つ。$\alpha + 1 ≤ \omega _{\alpha }<\omega _{\alpha + 1}}$が成り立つ。ただし、正規関数の不動点補題により、オメガ関数の不動点となる極限順序数もいくつか存在する。そのような最初の例は、数列の極限である。

${\displaystyle \omega ,\omega _{\omega },\omega _{\omega _{\omega }},\cdots }$

これは時として次のように表記される${\textstyle \omega _{\omega _{\ddots }}}$。

弱到達不能基数はアレフ関数の不動点でもある。^{[ 11 ]}これはZFCで次のように示すことができる。${\displaystyle \kappa =\aleph _{\lambda }}$は弱到達不能基数です。${\displaystyle \lambda }$後続序数であった場合、${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$後継基数となり、弱く到達不可能ではない。${\displaystyle \lambda }$制限順序数より小さい${\displaystyle \kappa }$するとその共終結性（したがって共終結性${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$) は以下より小さくなります${\displaystyle \kappa }$など${\displaystyle \kappa }$規則的ではないため、弱くアクセス不可能ではない。したがって${\displaystyle \lambda \geq \kappa }$そして結果として${\displaystyle \lambda =\kappa }$つまり、それは固定点となる。

無限順序数の濃度はアレフ数である。すべてのアレフは、何らかの順序数の濃度である。これらの最小の濃度は、その初期順序数である。濃度がアレフである集合は、順序数と等数であり、したがって整列可能である。

各有限集合は整列可能であるが、その濃度としてアレフを持たない。

ZF集合論では、各無限集合の濃度がアレフ数であるという仮定は、すべての集合の整列が存在することと同値であり、これは選択公理と同値である。選択公理を含むZFC集合論では、すべての無限集合の濃度はアレフ数である（つまり、初期順序数と同数である）ため、アレフ数の初期順序数は、考えられるすべての無限濃度の代表値のクラスとして機能する。

選択公理を用いずにZFで濃度を研究する場合、各無限集合の濃度が何らかのアレフ数であることを証明することはもはや不可能である。濃度がアレフ数である集合は、整列可能な無限集合と全く同じである。スコットのトリックの方法は、ZFの設定で濃度の代表元を構成する代替方法として用いられることがある。例えば、次のように定義できる。${\displaystyle {\text{card}}(S)}$同じ濃度を持つ集合の集合である${\displaystyle S}$可能な限り最小のランク。これは次のような性質を持つ。${\displaystyle {\text{card}}(S)={\text{card}}(T)}$かつその場合に限り${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$同じ濃度を持つ。（集合${\displaystyle {\text{card}}(S)}$同じカーディナリティを持たない${\displaystyle S}$一般的にはそうですが、そのすべての要素がそうです。）

• ベス番号
• ギメル関数
• 通常のカーディナル
• 無限
• 超限数
• 序数

• 「アレフゼロ」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック W. 「アレフ-0」。MathWorld 。