正規関数の不動点補題

正規関数の不動点補題は、任意の正規関数が任意に大きな不動点を持つという公理的集合論の基本的な結果である(Levy 1979: p. 117)。これは 1908 年にオズワルド・ヴェブレンによって初めて証明された。

正規関数は、順序数のクラス Ord からそれ自身へのクラス関数であり、次のようになります。 ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f}$は厳密に増加します:いつでも。${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$${\displaystyle \alpha <\beta }$
• ${\displaystyle f}$は連続です: すべての極限順序数（つまり、ゼロでも後続でもない）に対して、。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}$

が正規ならば、上限と可換であることが示せます。任意の空でない順序数集合に対して、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$。

実際、 が後続順序数である場合、 はの要素であり、等式は の増加特性から従います。 が極限順序数である場合、等式は の連続特性から従います。 ${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sup A}$${\displaystyle f}$

正規関数の不動点とは、 となる順序数です。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

不動点の補題は、任意の正規関数の不動点のクラスは空ではなく、実際には無制限であると述べています。つまり、任意の順序数 が与えられた場合、 かつとなるような順序数が存在するということです。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

正規関数の連続性は、不動点のクラスが閉じていることを意味します (不動点のクラスの任意の部分集合の上限は、やはり不動点です)。したがって、不動点の補題は、正規関数の不動点が閉じた無制限のクラスを形成するというステートメントと同等です。

証明の最初のステップは、すべての順序数に対しておよび が上限と可換であることを確認することです。これらの結果から、 、 に対して と設定して、増加シーケンスを帰納的に定義します。とするととなります。さらに、は上限と可換であるため、 ${\displaystyle f(\gamma )\geq \gamma }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }}$${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }$${\displaystyle \alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle \beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}}$

${\displaystyle \qquad =\beta }$

最後の等式は、シーケンスが増加するという事実から生じます。 ${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n}}$${\displaystyle \square}$

余談ですが、このようにして求めた は 以上の最小の不動点であることが証明できます。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \alpha}$

関数f  : Ord → Ord, f ( α ) = ω _αは正規関数です（初期順序数を参照）。したがって、 θ = ω _θとなる順序数θが存在します。実際、補題はそのようなθの閉じた非有界クラスが存在することを示しています。